Permítanme explicarlo para secuencias reales. La definición se puede extender fácilmente a cualquier espacio métrico
Una secuencia [matemática] \; (x_ {n}) \; = [/ matemática] [matemática] \; (x_ {1}, x_ {2} ,;…, x_ {n}, ..) \; [ / math] converge a un número [math] \; L \; [/ math] si la distancia entre el enésimo término y [math] \; L \; [/ math] se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que n se vuelve muy grande.
Es decir, [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \; | x_ {n} -L | \; [/ matemáticas] tiende a cero como n tiende a infinito. Esto se puede definir con precisión de la siguiente manera: dado cualquier número positivo [matemáticas] \; \ epsilon \; [/ matemáticas], cuán pequeño puede ser, hay un entero positivo correspondiente [matemáticas] \; m \; [/ matemáticas] tal que [math] \; | x_ {n} -L | <\ epsilon \; [/ math] cada vez que [math] \; n \ ge m \ ;. [/ math]
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La naturaleza de Cauchy de una secuencia está relacionada con la distancia entre términos distintos de esa secuencia. Si la distancia entre dos términos cualquiera de una secuencia después de una etapa finita puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces la secuencia se llama secuencia de Cauchy.
La definición precisa se puede dar de la siguiente manera: [matemática] \; (x_ {n}) [/ matemática] [matemática] \; [/ matemática] es una secuencia de Cauchy si y solo si se le da algún número positivo [matemática] \; \ epsilon \; [/ math] por pequeño que sea, hay un entero positivo correspondiente [math] \; p \; [/ math] tal que [math] \; | x_ {n} -x_ {m} | < \ epsilon \; [/ math] siempre que [math] \; m \ ge p \; [/ math] y [math] \; n \ ge p \ ;. [/ math]
Cada secuencia convergente es Cauchy, pero una secuencia de Cauchy converge solo si el espacio métrico está completo. La línea real en la métrica habitual está completa. Por lo tanto, una secuencia real es convergente si y solo si es una secuencia de Cauchy.
