¿Cómo se usa un módulo y un argumento en matemáticas?

let [matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas]

entonces el módulo representa el valor absoluto, o la distancia.

[matemáticas] | z | = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} = r [/ matemáticas]

cómo es esto útil

bien [matemáticas] z = | z | e ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

pero [matemáticas] | z | = r [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ math] por la fórmula de Euler

entonces [matemáticas] z = r (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ matemáticas]

cual es el argumento

el argumento se define de muchas maneras

pero uno es [matemática] arg (z) = \ {Arg (z) + 2 \ pi n | n \ in \ mathbb {Z} \} [/ math]

la fórmula para arg (z) es algo compleja y difícil de escribir en látex, lo dejaré aquí

Pero el argumento te da la rotación o el ángulo del número complejo.

Porque los números complejos en realidad tienen un número infinito de representación. Podemos tomar una rama principal de ellos. La rama principal es una sin agregar las rotaciones por [math] 2 \ pi n [/ math]

Porque en realidad otra forma de definir el argumento es el registro y el exponencial, ambos tienen valores múltiples.