Respuesta corta: S no tiene puntos interiores. Por lo tanto, no tiene interior.
Respuesta larga :
El interior de un conjunto S es la colección de todos sus puntos interiores . Entonces, para entender lo primero, veamos la definición de lo segundo.
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Deje que ([matemáticas] X, d) \ text {sea un espacio métrico. Deje} S \ subconjunto X [/ math]. Se dice que un punto [matemático] p \ en X [/ matemático] es un punto interior de [matemático] S [/ matemático] si hay una “región / vecindario”, “alrededor” [matemático] p [/ matemático] (sin embargo, “pequeño” en “tamaño”) que está completamente dentro de [math] S [/ math]. Más formalmente, se dice que [matemáticas] p \ en X [/ matemáticas] es un punto interior de [matemáticas] S \ text {if} \ exist \ epsilon> 0 \ text {tal que} S_ {p, \ epsilon} = \ {s \ en X | d (p, s) <\ epsilon \} \ subconjunto S. [/ math]
Ahora, considere el espacio euclidiano [math] X = \ mathbb {R} [/ math] con [math] d (x, y): = | xy | \ forall x, y \ in \ mathbb {R} \ text {and} S = \ {\ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} \}. [/ math] Elija un punto [math ] p \ in \ mathbb {R}. [/ math] Deje que [math] \ epsilon> 0 [/ math] sea elegido arbitrariamente. Mire el conjunto [matemáticas] S_ {p, \ epsilon} = \ {s \ en S | | ps | <\ epsilon \} [/ math]. Contiene una gran cantidad de números además de los de la forma [math] \ frac {1} {n}, n \ in \ mathbb {N} [/ math]. De hecho, para suficientemente pequeño [math] \ epsilon [/ math], puede que ni siquiera contenga ningún número de la forma [math] \ frac {1} {n}, n \ in \ mathbb {N}. [/ math] En particular, el conjunto contiene irracionales, por lo que [math] S_ {p, \ epsilon} \ not \ subset S [/ math]. Como esto es cierto para cualquier punto en S y todas las opciones de [math] \ epsilon [/ math], S no tiene ningún punto interior. Por lo tanto, la colección de todos los puntos interiores, también conocido como el interior de S, está vacía.
