Bueno, primero debes cambiar el nombre alfa de tus variables para que sean diferentes, ya que obviamente n de A no tiene nada que ver con n de B. Entonces, quieres saber cuándo es 2 ^ m + 1 divisible por 2 ^ (n + 1) -1.
El primer elemento de A, y el más fácil de verificar por divisibilidad, es 3. Entonces, ¿cuándo es 2 ^ m + 1 divisible por 3? No es difícil ver que cada vez que m es extraño, lo es. De hecho, si m = 2k + 1, entonces 2 ^ m + 1 = 2 ^ (2k + 1) + 1 = 2 ^ 2k * 2 + 1 = 4 ^ k * 2 + 1, cuyo mod 3 es congruente con 1 ^ k * 2 + 1 = 1 * 2 + 1 = 2 + 1 = 3, es decir, 0.
Por otro lado, cuando m es par, digamos m = 2t, luego 2 ^ m + 1 = 4 ^ t + 1. Obviamente no es divisible por 3 (es congruente con 2 mod 3), pero ¿qué pasa con otros elementos de A? Bueno, los únicos que no son divisibles por 3 son 7, 31, 127, 511 y 2047. No es difícil calcular las órbitas de Fermat de 4 bajo sus factores primos 7, 31, 127 y 23 para ver que nunca obtienes -1. Esto probablemente se puede hacer más fácilmente, pero no puedo ver cómo.
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Entonces, los números que estás sumando son exactamente los de la forma 4 ^ k * 2 + 1, de modo que m = 2k + 1 está entre 1 y 22. Entonces, k está entre 0 y 10. Entonces, en tu suma, tienes 11 gratis, y el doble de la suma geométrica con el cociente 4.
1 * 11 + 2 * (4 ^ 11–1) / (4–1) = 2796213
