¿Cuáles son algunas pruebas matemáticas interesantes que pueden entender los legos?

Probablemente una de las pruebas más famosas es el hecho de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. Utiliza una técnica común para probar cosas, a saber, Prueba por contradicción, básicamente asumiendo lo contrario de lo que desea mostrar, y luego demostrando que conduce a una contradicción, mostrando lo contrario, o lo que desea mostrar, tiene que ser cierto.

Comienza afirmando que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional, digamos [math] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] \ frac { p} {q} [/ math] es irreducible, o que no puede convertirlo en una fracción “más simple”, [math] \ frac {1} {2} [/ math] es irreducible, por ejemplo, mientras que [ matemáticas] \ frac {2} {4} [/ matemáticas] no es porque sea igual a [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Luego, cuadras ambos lados de [math] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} [/ math] para obtener [math] 2 = \ frac {p ^ {2}} {q ^ {2}} [/matemáticas]. Luego multiplique ambos lados por [matemática] q ^ {2} [/ matemática] para obtener [matemática] 2q ^ {2} = p ^ {2} [/ matemática]. Entonces [math] p ^ {2} [/ math] es par, y por lo tanto [math] p [/ math] también es par. (Ejercicio: pruebe esta afirmación usando algo similar a la prueba por contradicción, mostrando que el contrapositivo es verdadero, es decir, si [math] p [/ math] es impar que [math] p ^ {2} [/ math] es impar, y por modus tollens esto muestra que si [math] p ^ {2} [/ math] es par, entonces también lo es [math] p [/ math] es cierto).

Si p es par entonces [matemática] 2q ^ {2} = (2n) ^ {2} [/ matemática], donde [matemática] p = 2n [/ matemática]. Entonces [matemáticas] 2q ^ {2} = 4n ^ {2} [/ matemáticas]. Luego cancele por 2 para obtener [matemáticas] q ^ {2} = 2n ^ {2} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] q ^ {2} [/ matemáticas] también sea par, entonces [matemáticas] q [/ matemáticas] también es par. Luego, estableciendo [matemática] q = 2m [/ matemática], obtenemos [matemática] \ frac {p} {q} = \ frac {2n} {2m} = \ frac {n} {m} [/ matemática], lo que contradice nuestra afirmación original de que [math] \ frac {p} {q} [/ math] es irreducible, por lo que esto muestra que [math] \ sqrt {2} [/ math] no puede ser una fracción, por lo que es irracional.