Este problema se puede resolver utilizando geometría, trigonometría, álgebra y la rama del cálculo que se ocupa de la optimización. Primero construya el problema en el espacio 2D usando geometría . Deje que el bolsillo objetivo se defina por dos puntos finales, A y B, un ancho w separado el uno del otro, y la bola objetivo un círculo de diámetro d. Para meter la pelota, tiene que ir entre A y B, y ni A ni B pueden pasar dentro de ella. Hay muchos lugares diferentes en la mesa donde podría estar la bola objetivo. Para hacer las cosas agradables y simétricas, deje que M sea el punto medio del segmento AB, y coloque la pelota a una distancia perpendicular l de M, y deje que C sea el centro de la pelota. Entonces AB y MC son perpendiculares. Para que el disparo sea lo más fácil posible, debes ser capaz de golpear la bola objetivo lo más lejos posible del punto muerto sin dejar de colocarla. Este error máximo permitido en la colocación de la bola blanca enviará la bola objetivo a lo largo de una trayectoria que forma un cierto ángulo umbral con el segmento MC. El error máximo permitido en la colocación de la bola blanca es igual al radio de la bola objetivo multiplicado por el seno del ángulo umbral, o de manera equivalente, el radio de la bola objetivo multiplicado por el coseno del complemento del ángulo umbral. Para establecer el error máximo permitido, dibuje una línea a través de la tangente A al lado de la bola objetivo más cerca de A y etiquete el punto de tangencia T. Si la bola objetivo viaja paralela al segmento TA una vez golpeada, se colocará en maceta, pero si se golpea más lejos del punto muerto, no será en maceta.
Aquí es donde la trigonometría entra en escena. Observe que el triángulo AMC es correcto. Por lo tanto, la longitud del segmento AC es sqrt (l ^ 2 + (w / 2) ^ 2) = sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2) / 2. Luego observe que el ángulo MAT es el complemento del ángulo umbral, y que la medida del ángulo MAC más la medida del ángulo CAT es igual a la medida del ángulo MAT. El coseno del ángulo MAC da la relación de AM a AC, y el seno del ángulo CAT da la relación de CT a AC. Como se conocen todas estas longitudes laterales, las funciones trigonométricas inversas nos darán ángulos MAC y CAT. La medida de MAC es arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) y la medida de CAT es arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)). Entonces la medida de MAT es arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) + arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)), y el error correspondiente en la colocación de la señal f (d, w , l) = dcos (arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) + arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2))) / 2.
Ahora usa cálculo para optimizar el diámetro de la bola y el álgebra para simplificar las expresiones en el camino. El objetivo ahora es encontrar los valores críticos de d en el intervalo (0, w] ya que la pelota tiene un diámetro positivo que no debe ser mayor que el ancho del bolsillo. Diferenciar f (d, w, l) con respecto a d produce cos (arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) + arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2))) / 2 – dsin (arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) + arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2))) / (2sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2 – d ^ 2)). Ajuste f ‘(d) igual a 0 produce la ecuación (4l ^ 2 + w ^ 2) (cos ^ 2 (arccos (w / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2)) + arcsin (d / sqrt (4l ^ 2 + w ^ 2))) = d ^ 2. Desde aquí, una calculadora puede hacer el resto del trabajo. Usando un valor realista de 10 cm para w, y dejando que l varíe, se obtiene la siguiente tabla:
Distancia de disparo Diámetro de bola óptimo Relación de tamaño de bola / bolsillo
1 mm 70.00 mm .7000
1 cm 64,65 mm .6465
2 cm 60.38 mm .6038
3,5 cm 56,37 mm .5637
5 cm 54.12 mm .5412
7 cm 52.50 mm .5250
10 cm 51.37 mm .513743
15 cm 50,65 mm .5065
20 cm 50.38 mm .5038
25 cm 50,24 mm .5024
35 cm 50,13 mm .5013
50 cm 50.06 mm .5006
70 cm 50.03 mm .5003
1 m 50.02 mm .5002
1,5 m 50,01 mm .5001
2 m 50.00 mm .5000
Si bien no es del todo evidente en la tabla anterior, la relación óptima bola / bolsillo comienza en sqrt (2) / 2 = ~ .7071 cuando la bola objetivo está en el bolsillo objetivo. Lo que esta tabla nos dice es que a medida que mueve la bola objetivo más lejos del bolsillo objetivo, la relación óptima bola / bolsillo converge muy rápidamente a 1/2 . Cuando se juega en una mesa de billar real, la bola objetivo podría estar muy cerca del bolsillo objetivo debido a un intento anterior fallido de encapsularla allí, y es poco probable que la bola objetivo esté a más de 50 cm del bolsillo sin obstáculos más cercano. A la luz de estas consideraciones, el tiro promedio probablemente se realiza con la bola objetivo a 15-20 cm del bolsillo objetivo. Por lo tanto, la relación óptima entre bola de billar y bolsillo es de .505 .
