¿Cuál es la distancia máxima de cualquier punto en la curva 2013x ^ 2 – 4008xy + 2013y ^ 2 = 1 desde el origen?

Puedes usar el multiplicador de Lagrange para resolver esto.

Para encontrar la distancia máxima de cualquier punto en la curva [matemática] 2013x ^ 2 – 4008xy + 2013y ^ 2 = 1 [/ matemática], deje que este punto sea [matemática] (x, y) [/ matemática]. La distancia desde el origen hasta este punto es [matemática] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemática].

Entonces, maximicemos [matemáticas] f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] sujeto a la condición [matemáticas] 2013x ^ 2 – 4008xy + 2013y ^ 2 = 1 [/ matemáticas].

usando el método multiplicador de Lagrange, es bueno maximizar
[matemáticas] f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] + \ lambda (2013x ^ 2 – 4008xy + 2013y ^ 2 – 1) [/ matemáticas]

Tomando la derivada parcial wrt x, y y [math] \ lambda [/ math] y equivalente a cero después de tres ecuaciones se obtendrá
[matemáticas] 2x -4026 \ lambda x – 4008 \ lambda y = 0 [/ matemáticas]
[matemática] 2y -4026 \ lambda y – 4008 \ lambda x = 0 [/ matemática]
[matemáticas] 2013x ^ 2 – 4008xy + 2013y ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]

Las primeras dos ecuaciones anteriores darán [matemáticas] x = \ pm y [/ matemáticas]. Sustituyendo en el tercero dará [math] x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {18}} [/ math]

Esto da 4 puntos (dos dan máximos y dos mínimos – ver figura)
[matemáticas] (\ frac {1} {\ sqrt {18}}, \ frac {1} {\ sqrt {18}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ frac {1} {\ sqrt {18}}, – \ frac {1} {\ sqrt {18}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] (- \ frac {1} {\ sqrt {18}}, – \ frac {1} {\ sqrt {18}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] (- \ frac {1} {\ sqrt {18}}, \ frac {1} {\ sqrt {18}}) [/ matemáticas]