¿Por qué es [matemática] x ^ 5-2 x ^ 4 + 5 x ^ 3-10 x ^ 2 + 4 x-8 [/ matemática] irreducible? ¿Qué significa que algo sea irreducible?

Esto entra en la teoría de Galois.

Decir que el polinomio es irreducible es decir que no tiene raíces ‘algebraicas’. ‘Algebraico’ significa números racionales junto con raíces; pueden ser raíces cuadradas, raíces cúbicas, pueden estar anidadas, etc. Incluso pueden ser raíces de números negativos (por lo que estamos hablando del plano complejo).

Para la prueba, debes consultar la última voluntad y el testamento de un prodigio francés llamado Galois, escrito la noche antes de que le dispararan fatalmente en un duelo.

Galois demostró que los polinomios de grado> 4 no son generalmente reducibles.

No es fácil, pero la teoría de Galois es estructural, hermosa, asombrosamente.

Galois comienza con polinomios pero prescinde rápidamente de toda esa maquinaria de cálculo. Todo lo que necesita es estudiar cómo se pueden permutar las raíces. Descubre un cálculo de simetría.

Ahora subyace a la física, la criptografía: los ‘grupos’ están en todas partes.

Cuando Galois dispone de polinomios de quinto grado, este resultado es una mera nota al pie de su visión central.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …

Si sabes un poco de francés, el último trabajo apresurado de Galois es muy accesible, aunque está salpicado de desgarradores a parte (el lector encontrará la solución: no tengo tiempo. No tengo tiempo).

Se dice que un polinomio con coeficientes racionales es irreducible (sobre los números racionales) si no puede factorizarse en un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes racionales. Con esta definición, ¡el que pregunta debería poder ver que el polinomio en la pregunta es ciertamente reducible sobre los números racionales!

El polinomio [matemático] x ^ 5-2x ^ 4 + 5x ^ 3-10x ^ 2 + = 4x-8 [/ matemático] es irreductible porque no puede ser factorizado y, además, no hay términos similares en la ecuación misma que hace Es imposible de reducir.

Una ecuación es irreducible cuando el polinomio no constante es imposible de factorizar como producto de 2 polinomios no constantes.

Gracias por la A2A

Por inspección puedo ver que la función es divisible por x-2
De hecho, se puede factorizar como
(X-2) (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 + 1)
Dando raíces en x = 2, + 2i, -2i, + i, -i
Probablemente no sea irreducible