Cálculo: ¿Por qué es [matemáticas] 0 ^ {0} = 1 [/ matemáticas]?

No lo es

Sin embargo, esta prueba (que ha aparecido mucho en esta pregunta) es inexacta:

[matemáticas] 0 ^ 0 = 0 ^ x / 0 ^ x = 0/0 = [/ matemáticas] indefinido

Una manera simple de ver el error en esta prueba es “probar” que [matemática] 0 ^ 1 [/ matemática] no está definida de la misma manera:

[matemáticas] 0 ^ 1 = 0 ^ 2/0 ^ 1 = 0/0 = [/ matemáticas] indefinido

Una prueba de que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida:

Considere las dos funciones:

[matemáticas] f (x) = x ^ 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = 0 ^ x [/ matemáticas]

Podemos ver eso:

[matemáticas] \ lim_ {x \ to0 ^ {+}} f (x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ to0 ^ {+}} g (x) = 0 [/ matemáticas]

No habría forma de definirlo para satisfacerlos. Por lo tanto, [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida.

Porque [matemática] x ^ x [/ matemática] se acerca cada vez más a 1 a medida que [matemática] x [/ matemática] se acerca cada vez más a 0.

[matemáticas] 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.5 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 0.5 = sqrt (2) / 2 = 0.707 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.1 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 0.1 = 0.794 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.01 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 0.01 = 0.955 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.001 [/ matemáticas] ^ [matemáticas] 0.001 = 0.993 [/ matemáticas]

y así. Entonces, si no tenemos [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas], rompemos las matemáticas con una fea discontinuidad.

Debo señalar que acercarse a [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] desde el lado negativo parece diferente, porque las raíces cuadradas negativas de los números negativos son complejas. Pero aún converge en 1 como la solución:

[matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es una forma indeterminada, en que [matemáticas] \ lim \ limits _ {x \ rightarrow 0} {0 ^ x} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim \ límites _ {x \ rightarrow 0} {x ^ 0} = 1 [/ math]. Sin embargo, en algunos contextos, es conveniente realizar cálculos como si [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática].

Por ejemplo, [math] \ lim \ limits _ {(x, y) \ rightarrow (0, 0)} {x ^ y} [/ math] depende de la ruta (depende exactamente de cómo se aproxima (x, y) el origen). Sin embargo, la mayoría de las opciones de ruta convergerán al límite 1, mucho más que para otras formas indeterminadas como [math] \ frac {0} {0} [/ math]. Si [matemática] x = y ^ n \ izquierda (c + o (1) \ derecha) [/ matemática], por ejemplo, donde [matemática] n [/ matemática] es un número positivo, [matemática] c [/ matemática ] es una constante distinta de cero, y [math] o (1) [/ math] es una función que satisface [math] \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0} {o (1)} = 0 [/ math] (en en otras palabras, [math] o [/ math] es una pequeña notación), luego (dejando que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] se acerquen a 0 solo desde la dirección positiva, para mantener el cálculos en números reales):

[matemáticas] \ lim \ limits _ {(x, y) \ rightarrow (0, 0)} {x ^ y} = \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0} {\ left (y ^ n \ left (c + o (1) \ right) \ right) ^ y} [/ math]

[matemáticas] = \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (y ^ {ny} \ left (c + o (1) \ right) ^ y \ right)} [/ math]

[matemática] = \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (y ^ {ny} \ right)} \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0} {\ left (c + o (1) \ right) ^ y} [/ math]

[math] = \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (y ^ {ny} \ right)} [/ math] (porque el segundo límite no es una forma indeterminada)

[matemática] = \ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (e ^ {ny \ ln {\ left (y \ right)}} \ right)} [/ math]

[matemáticas] = e ^ {\ lim \ limits _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (ny \ ln {\ left (y \ right)} \ right)}} [/ math]

[matemáticas] = e ^ {n \ lim \ límites _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (\ frac {\ ln {\ left (y \ right)}} {y ^ {- 1}} \ right) }}[/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {n \ lim \ límites _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (\ frac {y ^ {- 1}} {- y ^ {- 2}} \ right)}} [/ matemáticas] (usando la regla de L’Hopital)

[matemáticas] = e ^ {n \ lim \ límites _ {y \ rightarrow 0+} {\ left (y \ right)}} [/ math]

[matemáticas] = e ^ {n \ izquierda (0 \ derecha)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Eso cubre muchos caminos de uso común. Por ejemplo, si [math] x [/ math] en función de [math] y [/ math] tiene una raíz simple en 0, o incluso una raíz doble allí, o, para el caso, una raíz de cualquier orden finito , el límite se convierte en 1. Hay caminos que conducen a otros límites que 1, pero se acercan al eje y extremadamente rápido. Un ejemplo sería [matemáticas] x = e ^ {\ frac {-1} {y}} [/ matemáticas] (con [matemáticas] y [/ matemáticas] acercándose a 0 desde el lado positivo), y con esta función, el el límite (de [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas]) es [matemáticas] e ^ {- 1} [/ matemáticas].

La prueba que tiene más sentido para mí es la siguiente:

1. [matemáticas] 0 ^ 0 = 0 ^ 1 * 0 ^ -1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] -> 0 ^ 0 = 0/0 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] -> 0 ^ 0 = lim (x-> 0) x / x [/ matemáticas]
4. Por la regla de L’Hospital, [matemáticas] 0 ^ 0 = lim (x-> 0) 1/1 [/ matemáticas]
5. [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Cualquier otro valor de [math] 0 ^ 0 [/ math] crearía una discontinuidad en la función [math] x ^ x [/ math].

No lo hace. Si bien tomar el límite para números reales se aproxima a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], no lo hace para números complejos. También:

[matemáticas] a ^ 0 = a ^ {bb} = \ frac {a ^ b} {a ^ b} = 1 [/ matemáticas]

Si dejamos que [math] a = 0 [/ math], obtenemos:

[matemáticas] 0 ^ 0 = \ frac {0 ^ b} {0 ^ b} = \ frac {0} {0} [/ matemáticas]

Por lo tanto, elevar [math] 0 [/ math] para sí mismo es tan absurdo como dividir entre [math] 0 [/ math].

La exponencial [matemática] x ^ y [/ matemática] podría haberse definido de diferentes maneras, y el hecho de que tiende a definirse de modo que [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] es esencialmente una cuestión de conveniencia. Expresiones como [math] \ sum_ {i = 0} ^ n c_i x ^ i [/ math] (es decir, los polinomios en [math] x [/ math]) se usan mucho, y es más fácil hacer [math] x ^ 0 = 1 [/ math] sea verdadero por convención incluso cuando [math] x = 0 [/ math]. Este tipo de expresión se usa mucho. Si uno no define [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] en este contexto, lo obliga a desglosar los casos en que uno de los exponentes es [matemática] 0 [/ matemática] y sustituir [matemática] 1 [/ math] donde hubieras tenido [math] x ^ 0 [/ math], [math] y ^ 0 [/ math], o lo que sea, lo cual es un dolor, especialmente si tienes polinomios en varias variables. Esa parece ser la razón principal de la forma en que la definimos.

La propensión de los matemáticos a definir [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas] parece ser mucho más débil cuando [matemáticas] y [ / math] es un número real, sin embargo. La última vez que vi esto discutido, parece que la gente estaba descubriendo que, por lo general, la forma en que se usaba el exponencial en los casos en que tanto la base como el exponente son números reales era al menos compatible con [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas ] aunque sería menos común escribir algo que tenga sentido solo si se usa esta definición. No puedo pensar en ningún ejemplo a la ligera. Supongo que he visto la función compleja de valores múltiples [matemática] f (z) = [/ matemática] [matemática] z ^ r [/ matemática] mencionada en los casos en que [matemática] r [/ matemática] es un arbitrario número racional, y se usa con la convención de que [matemática] z ^ 0 = 1 [/ matemática] incluso cuando [matemática] z = 0 [/ matemática].

El punto [matemática] (x, y) = (0,0) [/ matemática] es un punto de discontinuidad de [matemática] x ^ y [/ matemática] para números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática ] y [/ matemática] porque para [matemática] x = 0 [/ matemática] y pequeña pero distinta de cero [matemática] y [/ matemática], obtenemos [matemática] x ^ y = 0 [/ matemática] mientras que para [matemática] y = 0 [/ matemática] y pequeña [matemática] x [/ matemática], obtenemos [matemática] x ^ y = 1 [/ matemática]. No hay forma de definirlo en el punto que hace que [math] x ^ y [/ math] sea continuo allí (aunque en muchos caminos el límite es [math] 1 [/ math]). Pero podemos definirlo allí de todos modos si lo deseamos, siempre y cuando tengamos en cuenta que es discontinuo allí.

Alguien más también señaló que [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] tiene sentido en el contexto de que tanto la base como el exponente se consideran cardinalidades finitas. La exponencial [matemática] B ^ A [/ matemática] para cardinalidades se define generalmente como la cardinalidad del conjunto de funciones de un conjunto con elementos [matemáticos] A [/ matemáticos] a un conjunto con [matemáticos] B [/ matemáticos] elementos, que para [matemática] A = B = 0 [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática] (la función vacía).

Algunas personas tienen una sensación de orden que hace que parezca más ordenado definir [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] como “lo mismo”, ya sea que se usen exponentes enteros exclusivamente en el contexto o no. Creo que esta bien; No creo que sea especialmente importante.

Tiene razón en parte: cuando se define [matemática] 0 ^ {0} [/ matemática], generalmente es [matemática] 1 [/ matemática]. El exponente gana, ya que básicamente dice “no tiene lugar la multiplicación”, por lo que la ecuación simplemente devuelve la multiplicación neutral. Veamos algunos casos:

• Cuando se trabaja principalmente con números naturales, a menudo es útil definir [matemáticas] 0 ^ {0} [/ matemáticas] como [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
• Lo mismo con una serie de poderes; ahorra muchos problemas al definir [matemáticas] 0 ^ {0} [/ matemáticas] como [matemáticas] 1 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] x ^ {0} [/ matemáticas] funciona normalmente cuando [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas].
• Los límites son donde falla esta simplificación: es fácil encontrar [math] 0 ^ {0} [/ math] formas que devuelven algo distinto de [math] 1 [/ math].

Fuera de los límites, [matemática] 0 ^ {0} = 1 [/ matemática] es bastante útil. De hecho, los lenguajes de programación y el software matemático lo interpretan principalmente como tal. Algunos de ellos hacen una distinción si la base se establece en piedra, como en [math] 0 ^ {b} [/ math] (resultado indeterminado) o si es el exponente, como en [math] x ^ {0} [/ math] (resultado de [math] 1 [/ math]). A veces, está determinado por la “precisión” de cada uno, sobre si son enteros “oficialmente” o simplemente números de punto flotante imprecisos que tienen el valor [matemática] 0 [/ matemática].

Pero bueno, los matemáticos estrella han debatido sobre el tema durante casi dos siglos.

Es una forma indeterminada, pero a veces es conveniente hacerlo a veces.

Al igual que estamos usando [math] \ frac {1} {x} = \ infty [/ math].

De hecho, esto también proviene del concepto de límite.

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {x} = \ infty [/ matemáticas]

pero [math] \ frac {1} {0} [/ math] no está definido.

Se puede mostrar usando el concepto de límite. En lugar de tomar dos variables y escribir en detalle, solo voy a mostrarlo.

[matemáticas] lim_ {x \ a 0} x ^ x [/ matemáticas]

cuando x = 0, toma la forma de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas], es una forma indeterminada.

Entonces,

let, [math] y = \ lim_ {x \ to 0} x ^ x [/ math]

O, [math] log y = \ lim_ {x \ to 0} x log x [/ math]

O, [matemáticas] log y = \ lim_ {x \ to o} \ frac {log x} {\ frac {1} {x}} [/ math]

Usando la regla de L’Hopital,

O bien, log y = [matemáticas] \ lim_ {x \ to o} \ frac {\ frac {1} {x}} {- \ frac {1} {x ^ 2}} [/ matemáticas]

O bien, log y = [math] \ lim_ {x \ to 0} -x [/ math]

O, log y = 0

O, [matemáticas] y = e ^ 0 = 1. [/ matemáticas]

Es una elección que hacemos. La expresión en sí misma no tiene sentido si solo consulta la definición de exponenciales.

Sin embargo, hay varias razones para darle un valor, y si está interesado principalmente en números reales, hay dos buenas sugerencias de lo que debería ser: cero o uno.

Hay buenas razones para ambas sugerencias. Puede decir que está eligiendo si la función de potencia (tonta): [matemática] f (x) = x ^ 0 [/ matemática] o la función exponencial (tonta) [matemática] g (x) = 0 ^ x [ / math] debe ser continuo en [math] x = 0 [/ math].

Si [matemática] f [/ matemática] tiene que ser continua, entonces [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], y si [matemática] g [/ matemática] tiene que ser continua, entonces [matemática] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas].

Ahora, hay algunas buenas razones lógicas por las que debería ser [matemática] f [/ matemática] y no [matemática] g [/ matemática] continua.

En primer lugar, [matemática] f [/ matemática] se define para todos los valores reales de [matemática] x [/ matemática] excepto cero, mientras que [matemática] g [/ matemática] solo se define para [matemática] x [/ matemáticas].

En segundo lugar, la función [matemática] f [/ matemática] es realmente útil, incluso si es tonta, cuando haces álgebra de polinomios. Es realmente útil ver un polinomio:

[matemáticas] p (x) = a_0 + a_1 \ cdot x + a_2 \ cdot x ^ 2 + \ ldots + a_n \ cdot x ^ n [/ math]

como teniendo el primer término constante constante igual a [math] a_0 \ cdot x ^ 0 [/ math]. Esto significa que podemos escribir el polinomio en una forma ordenada y lógica:

[matemáticas] p (x) = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k \ cdot x ^ k [/ matemáticas]

Pero para que esto funcione para todos los valores de [matemática] x [/ matemática] (particularmente [matemática] x = 0 [/ matemática]), necesitamos que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] sea igual a uno .

Respuesta corta: no lo es. [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] no está definido.

Respuesta larga: puede “calcular” [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (en una interpretación laxa de la definición de “calcular”) usando límites.

Se puede demostrar que [math] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow0} x ^ x = 1 [/ math]. Es decir, cuando x se acerca a 0, se puede demostrar que [math] x ^ x [/ math] se acerca a 1.

También se puede demostrar que [math] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow0} x ^ 0 = 1 [/ math].

Ambos sugerirían que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Sin embargo, [math] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow0} 0 ^ x = 0 [/ math]. Esto sugeriría que [matemáticas] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas].

A pesar de que ambos son igualmente verdaderos, no es un problema, simplemente porque [matemáticas] f (a) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow a} f (a) [/ matemáticas] si y solo si [math] f (x) [/ math] se define realmente en [math] f (a) [/ math]. Como [math] 0 ^ 0 [/ math] no está definido, ninguno de estos realmente tiene ningún valor.

Con la definición de la aritmética, cada entero elevado a 0 es 0, porque es una abreviatura, una multiplicación, y el elemento neutro para el producto es 1. Es como en un producto cualquier número por 0 es 0. En los números reales, el La definición de la exponencial [matemática] a ^ x [/ matemática] se basa en las propiedades de los potenciales de los logaritmos y la función exp (x) y la definición (por la regla de los exponentes sobre la misma base) [matemática] a ^ x = exp (ln a) * x [/ math] como la integración de [math] x ^ {- 1} [/ math]

Si trabaja en reales, a veces es conveniente considerar que no está definido, es decir [matemáticas} 0 ^ {- 1} [matemáticas}, pero en series potenciales, por ejemplo, es conveniente considerar [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

¿Cuándo conociste la expresión?

El resto de las respuestas hasta ahora consideran uno o ambos aspectos. Recuerde que lo natural es una inmersión de lo real. Los números ordinales son una inmersión de números surrealistas, pero los + y ×

Esta expresión es ambigua.

Todos conocemos esa buena regla de que cualquier número elevado a 0 es 1, ¿verdad? La respuesta es obvia, ¡es 0! Pero bueno, también sabemos que 0 elevado a cualquier potencia sigue siendo cero, lo que contradice la primera afirmación. Entonces … tenemos dos opciones opuestas, lo cual es malo.

Los matemáticos han discutido sobre esto durante años, pero no tenemos una respuesta satisfactoria. Es por eso que si no estás seguro, mejor decir que depende .

Este es un tema sutil que es confuso incluso para muchos matemáticos.

El significado de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] depende de si el 0 en el exponente es el número entero 0 o el número real 0. Por lo general, en matemáticas esta distinción no es muy importante, pero aquí está.

Si el exponente es el 0 real, entonces no está definido. Los poderes reales se inspiran en los límites, y de [matemáticas] \ lim f (x) = 0, \ \ lim g (x) = 0 [/ matemáticas] no se puede deducir el valor de [matemáticas] \ lim f (x ) ^ {g (x)} [/ math]. Entonces 0 ^ 0 es una forma indeterminada y se deja sin definir. Esto es lo que muchas de las otras respuestas aquí intentan decirte, pero están equivocadas porque solo discuten esto.

Pero las potencias con un exponente entero son multiplicaciones repetidas (cualquiera que sea la base: enteros, reales o algo completamente diferente que sea compatible con la multiplicación). Se definen por una simple recursión: [matemática] x ^ 0 = 1, \ x ^ {n + 1} = x ^ n \ cdot x [/ matemática]. Esto funciona incluso si [matemática] x = 0 [/ matemática], entonces [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática]. (Los exponentes negativos están definidos por inversos y, por supuesto, [matemática] 0 ^ n [/ matemática] para entero negativo [matemática] n [/ matemática] no está definida algebraicamente porque 0 no tiene una inversa.)

Pensado de otra manera, la exponenciación por el entero 0 es el producto vacío, un producto sin términos, que es igual a la identidad multiplicativa, 1. Al igual que una suma vacía es igual a la identidad aditiva 0 (o la unión vacía de conjuntos es el conjunto vacío, y la intersección vacía de conjuntos es el universo del discurso, etc.). No importa que los términos que no se multiplican sean ceros, porque no hay ninguno de ellos.

Hay varios lugares donde es útil reconocer que [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math] es útil, y son invariablemente instancias donde el exponente es entero en lugar de real. Por ejemplo, series de potencias y polinomios: desea poder escribir [matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ Matemáticas] sin preocupándose por el caso [math] x = 0 [/ math], y aquí, de hecho, los exponentes son fundamentalmente enteros en lugar de números reales.

Considere x ^ y donde x es positivo. Eso es lo mismo que e ^ (y ln (x)). Ahora deje que y y x se acerquen a 0. El resultado puede ser cualquier número de 0 a infinito dependiendo de la ruta elegida en el plano xy. Si y -> 0 como c / ln (x) la respuesta es e ^ c; si es más rápido que c / ln (x) obtienes 1; si es mucho más lento que c / ln (x) obtienes 0.

hablar sobre el “valor” de 0 ^ 0 no tiene sentido.

[matemáticas] 0 ^ 0 \ neq 1 [/ matemáticas]

Debe saber por las leyes de los índices que, [matemáticas] \ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {mn} [/ matemáticas]

Si [matemáticas] m = n [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ dfrac {a ^ m} {a ^ m} = a ^ {mn} [/ matemáticas]

[matemática] a ^ 0 = 1; [/ matemática] iff [matemática] a \ neq 0 [/ matemática], porque no podemos dividir por cero.

Porque queremos que sea así.

Dado un conjunto (finito) A de n elementos y un conjunto (finito) B de k elementos, uno ve fácilmente que hay exactamente k ^ n funciones diferentes del conjunto A al conjunto B. Es decir, para cada elemento de A puede hacer k posibles elecciones, y estas se multiplican. Sería una pena si tuviéramos que abandonar esta fórmula en los casos en que n = 0 o k = 0.

Pero, ¿cuántas funciones hay en estos casos?

Si k = 0 yn> 0, estamos atornillados: necesitamos asignar un valor en B para cada uno de los varios elementos de A, pero eso es imposible. Por lo tanto, no hay funciones de A a B y afortunadamente también estamos de acuerdo en que 0 ^ n = 0 si n> 0.

Si n = 0 yk> 0, la situación es mejor: necesitamos asignar un valor en B para cada elemento de A, pero como no hay ningún elemento de A, hemos completado esta tarea incluso antes de comenzarla, por lo que speak, y listo, tenemos una función de A a B. Como no eran posibles opciones diferentes en ninguno de los pasos inexistentes, esta función es única. Esto concuerda con k ^ 0 = 1 para k> 0.

Pero espera: en el último ejemplo era irrelevante que k> 0. De hecho, existe también una y solo una función del conjunto vacío al conjunto vacío (como siempre el conjunto permite * al menos * un mapa para sí mismo: el mapa de identidad). Así que mejor también tenemos 0 ^ 0 = 1.

Hay múltiples razones para sugerir esto. Una razón por la que defiendo es intuitiva, ya que trata la multiplicación por un número como una operación que puede realizar n veces, de modo que el coeficiente resultante es simplemente el multiplicador base elevado a la potencia de n. Por ejemplo, tenemos un vector. Podemos realizar una operación P, que definimos como multiplicar por 5. Si quiero P ^ 5, entonces debo realizar esta operación 5 veces, lo que equivale a multiplicar el vector por 5 ^ 5. También puedo realizar una operación Q, que implica multiplicar por -0.5 en su lugar. Hacer Q ^ 2 implica multiplicar por -0.5 dos veces, lo que equivale a simplemente multiplicar por 0.25. Ahora, si a define un nuevo operador M, que me pide que multiplique por 0, entonces puedo decir que M ^ 2 requiere que multiplique por 0 dos veces, pero esto es equivalente a multiplicar por 0 ^ 2 = 0. Entonces, ¿qué si digo que quiero aplicar M un total de 0 veces? Luego debo multiplicar por 0 ^ 0, pero aplicar una operación 0 veces es equivalente a no aplicarla en absoluto. Entonces el resultado es que mi vector no ha cambiado. Mi operación de multiplicar por 0 ^ 0 deja mi vector sin cambios, por lo tanto (0 ^ 0) * v = v. Sin embargo, esto implica necesariamente que 0 ^ 0 = 1. QED

Se define de esa manera para evitar una contradicción. Echa un vistazo y podrías estar de acuerdo: Zero to the Zero Power

¿Quién te dijo que 0 ^ 0 = 1?
0 ^ 0 es una de las siete formas indeterminadas en matemáticas, que son: – (* significa infinito)
0/0, * / *, * – *, 0 x *, 1 ^ *, * ^ 0 y 0 ^ 0.