Los axiomas son definiciones. Definen el tema bajo investigación.
Si desea investigar cómo funciona algo cuando tiene dos operaciones como la suma y la multiplicación, debe indicar con precisión qué propiedades satisfacen esas operaciones. Si incluye suficientes, obtendrá los axiomas para los campos.
Si desea investigar la geometría del plano, debe especificar exactamente qué propiedades satisface la geometría del plano. Si usas los axiomas de Euclides, obtienes geometría euclidiana. Si modifica uno de los axiomas, el postulado paralelo, obtendrá una geometría diferente, llamada geometría hiperbólica. Ambos tipos de geometrías son parte de las matemáticas.
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Los axiomas en sí mismos no son subjetivos. Tampoco lo son las matemáticas en su conjunto.
Lo que interesa a las personas determinará qué partes de las matemáticas se investigan. Eso podría llamarse subjetivo. En gran parte, el desarrollo de las matemáticas ha sido influenciado por otras materias. Gran parte de las matemáticas se desarrolló para negocios, astronomía, ingeniería, gobierno, física y otros esfuerzos humanos.
