¿Por qué el lenguaje de la lógica de primer orden?

Pregunta originalmente respondida: ¿Por qué el lenguaje de la lógica de primer orden?


Tal como está escrita, esta pregunta es extremadamente vaga, pero la preguntaré por qué el lenguaje de la lógica de primer orden es visto como el lenguaje estándar en la base de casi todos los sistemas lógicos.

El componente del lenguaje de la lógica de primer orden es el componente que se utiliza para hacer declaraciones sobre el dominio de interés, el tema en cuestión. Como tal, debe ser lo suficientemente expresivo como para permitir que se hagan declaraciones significativas e interesantes.

Por ejemplo, si el lenguaje solo permitía proposiciones básicas sin estructura interna, como la lógica proposicional, entonces es imposible hacer declaraciones que se refieran a objetos individuales y relaciones entre estos objetos.

De hecho, esta es la extensión más importante de la lógica proposicional, la adición de un medio para referirse a objetos individuales y formular relaciones entre ellos. Quizás incluso más importante que la suma de los cuantificadores [math] \ exist [/ math] y [math] \ forall [/ math].

Es esta estructura la que se parece mucho a cómo tendemos a ver el mundo que nos rodea, en términos de objetos y relaciones entre estos objetos.


Ahora, en los comentarios de la pregunta en sí, se menciona el hecho de que la lógica de primer orden no es decidible, mientras que la lógica proposicional sí. Pero el punto no es la capacidad de decisión de la lógica, sino la expresividad del lenguaje. Un lenguaje decidible pero no expresivo simplemente no le permite a uno decir muchas cosas interesantes. Que el precio de esta expresividad adicional es indecidible, o en este caso semi-decidible, es algo que simplemente debe aceptarse.

Cabe señalar que se puede restringir el lenguaje de la lógica de primer orden de manera que resulte en una lógica decidible, pero con esas restricciones también se reduce la expresividad del lenguaje. Si un fragmento restringido es aceptable depende del dominio de interés. En otras palabras, hay varios lenguajes posibles entre la lógica proposicional y la lógica de predicados de primer orden que son decidibles, pero su utilidad podría no ser suficiente para ciertas aplicaciones.

¿Eh? Tu pregunta no está clara. Acláralo, por favor.