Los axiomas de ZFC no resuelven la paradoja del mentiroso. De hecho, no es su deber resolver la paradoja del mentiroso. Informalmente, la paradoja de mentiroso surge cada vez que tienes un lenguaje en el que puedes construir la oración “Esta oración es falsa”. Obviamente, para hacer esto, necesitamos dos cosas:
- Alguna forma de decir “esta oración”, es decir, una manera de que una oración se refiera a sí misma
- Alguna forma de representar el predicado “falso”.
Gödel demostró que para la aritmética de Peano (PA) se puede representar la sintaxis de PA dentro de la propia PA (numeración de Gödel) de tal manera que se puede construir la oración “Esta oración no es demostrable”. Gödel mostró por Diagonal Lemma que hay una manera de codificó las oraciones de PA de modo que las oraciones de PA puedan referirse a sí mismas y demostró que hay una manera de capturar la noción de “prueba” dentro del vocabulario de PA. Con esto, Gödel llegó a su primer teorema de incompletitud, que podría llamarse informalmente una versión sintáctica de la paradoja de Mentiroso.
Esta es la historia más o menos conocida. Hay una historia menos conocida que comienza con la extensión de Alfred Tarski de los resultados de Gödel. Alfred Tarski esencialmente mostró que cualquier lenguaje que tenga un predicado de verdad y lo suficientemente fuerte como para que sus oraciones se refieran a sí mismos está condenado a la inconsistencia debido a la paradoja de Liar. Entonces, para evitar la paradoja, esencialmente ideó un modelo en el que propuso cadenas ascendentes de lenguaje, cada una de las cuales captura el predicado de verdad del lenguaje anterior. A su manera, se evita la paradoja de Mentiroso, porque el predicado de la verdad, en cierto sentido, se coloca en una jerarquía. No hay un predicado de verdad “universal”, pero una multitud de ellos captura el significado del predicado “verdad” en un lenguaje de nivel inferior. Entonces, Tarski evitó la paradoja del mentiroso modificando el criterio (2) anterior.
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Esta no es la forma única de hacer las cosas. No prolongaré esta publicación, pero uno puede llegar a construcciones teóricas de conjuntos que dejan la oración paradójica de Mentiroso sin un valor de verdad (lo que significa que no es ni verdadero ni falso) (por ejemplo, Kripke, 1975).
En general, hay una gran literatura sobre cómo evitar la paradoja del mentiroso, pero primero debemos tener claro qué significa la paradoja del mentiroso. Los axiomas de ZFC no están directamente relacionados con la paradoja del mentiroso (aunque varias axiomatizaciones de la teoría de conjuntos están relacionadas con lo que generalmente se llama la paradoja de Russell).
