Modus ponens describe una regla para la inferencia, mientras que la implicación matemática es esencialmente un símbolo que le permite usar modus ponens. Las proposiciones no son lo mismo que las reglas.
Esto se ilustra mejor con un ejemplo de Lewis Carroll (titulado “Lo que la tortuga dijo a Aquiles”), que repetiré muy brevemente aquí:
Declaración A: [matemáticas] Q [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la prueba de [matemáticas] I_ {n} = \ int \ sin ^ ndx = - \ frac {cosxsin ^ {n-1} x} {n} + \ frac {n-1} {n} I_ {n -2}, n \ geq2 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la solución de [math] 4 \ sqrt {x} + 1 = 0? [/ Math]
- ¿Cuál es la diferencia entre inyección y biyección (con referencia al mapeo de conjuntos BTWN)?
- Las matemáticas se basan en la creencia en sus axiomas. ¿Qué pasa si estos axiomas están mal? ¿Se requeriría una prueba no matemática?
- ¿Existe una rama matemática que se ocupe de la preservación de la información?
Declaración B: [matemáticas] Q \ implica P [/ matemáticas]
Sin modus ponens, esto no es suficiente para que usted obtenga [matemáticas] P [/ matemáticas]. Podría decir que si la declaración B y la declaración A, entonces [matemática] P [/ matemática] tiene que ser verdadera, en cuyo caso se supone que la afirmación C:
Declaración C: [matemáticas] ((Q \ implica P) \ tierra Q) \ implica P [/ matemáticas]
Pero, ¿por qué podemos usar esta declaración? Es solo otra cadena de símbolos que “asumimos”. ¿Cómo sabemos que podemos inferir [matemáticas] P [/ matemáticas] de A, B y C? Esto puede continuar para siempre.
Declaración D: [matemáticas] (A \ tierra B \ tierra C) \ implica P [/ matemáticas]
(etc.)
Para salir de este ciclo, debe usar una regla de inferencia, que no es una declaración proposicional:
Modus Ponens: Si tiene dos declaraciones de la forma [matemática] Q [/ matemática] y [matemática] Q \ implica P [/ matemática], entonces puede inferir [matemática] P [/ matemática].
El punto clave es que sin una regla de inferencia , todas estas declaraciones son solo cadenas de símbolos sin sentido; podríamos atribuir significado a algunos de estos símbolos, pero ese significado proviene de las reglas de inferencia que usamos.
