Geometría diferencial: de la misma manera que se puede definir el ‘punto en el infinito’ en espacios de vectores reales de dimensiones finitas, ¿existe correspondientemente una variedad riemanniana en la que tenga sentido hablar de la ‘línea en el infinito’?

No estoy seguro de si hay otras obstrucciones, pero solo una que veo surge de la invariante Gauss-Bonnet. Para un múltiple compacto bidimensional sin límite, la invariante solo está dada por la integral del doble de Hodge de (la mitad) del escalar Ricci sobre el múltiple . En dimensiones superiores, el integrando es más complicado, pero en última instancia depende solo de la métrica y sus derivados. Entonces, si ya tiene una variedad Riemanniana con una métrica especificada, no puede simplemente agregar ‘puntos en el infinito’ de todas formas, ya que eso haría que la variedad sea compacta y le otorgue una topología definida, por lo tanto, arregle todas las invariantes topológicas, incluida la invariante Gauss-Bonnet . Pero todo lo que implica es integrar una expresión dependiendo de la métrica y sus derivados, que ya se especifica en todas partes, excepto un submanifold de medida de fuga (es decir, el ‘submanifold en el infinito’).

Como ilustración, considere el plano euclidiano con la métrica euclidiana habitual. Estereográficamente proyectarlo en una esfera. Dado que la curvatura escalar se desvanece idénticamente para una métrica euclidiana, parece que la invariante de Gauss-Bonnet (también conocida como la característica de Euler) para el plano compactado es cero. Pero se sabe que la característica de Euler de una esfera es 2. La métrica en una variedad riemanniana no puede adaptarse sin problemas (y en este caso, incluso continuamente) a su compactación estereográfica. Sin embargo, tenga en cuenta que el plano puede verse como el producto cartesiano de dos líneas, cada una de las cuales se compacta de forma independiente en un círculo. Por lo tanto, al incluir un ‘paralelogramo en el infinito’ en lugar de simplemente un punto, podemos convertir el plano en un toro, que tiene una característica de Euler de cero. Ahora, la métrica puede extenderse suavemente a todos los puntos en el infinito.

El término que está buscando es el límite ideal ; ver, por ejemplo, ¿Cuál es la definición de límite ideal? Creo que esto reproduce el límite que crees que debería tener cuando lo alimentas en el plano hiperbólico.