El cálculo puede ser tan superficial o profundo como lo que quieres hacer con él. El problema radica en cómo lee el libro de texto y qué tan lejos lo lleva más allá.
El cálculo es miembro de una rama de las matemáticas conocida como análisis. Su libro de texto de cálculo probablemente tenga algunas pruebas de los conceptos utilizados en el curso. Si los ignora y apunta directamente a usar el cálculo de una manera “plug and chug”, entonces en realidad solo está obteniendo algo de educación básica en la aplicación de su curso.
Por otro lado, podría centrarse específicamente en tratar de comprender las pruebas y los conceptos que los motivan. Esos pueden ser mucho más complicados y profundos. Puedes entender que el cálculo funciona sin entender por qué funciona. Una de las cosas verdaderamente fascinantes sobre las matemáticas es que hay una prueba detrás de cada idea que ves en tus libros de texto sobre el tema. A diferencia de otras ciencias, una vez que se completa una prueba, si todos los pasos y teoremas utilizados para completar la prueba son correctos, entonces es inequívocamente correcto. Muchas pruebas en cálculo se basan en el teorema del valor medio (MVT para abreviar), para dar un ejemplo. Hay varias pruebas correctas de ello y no se puede discutir con el teorema en sí mismo.
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No hay nada “plug and chug” en muchas de las pruebas que completan el cálculo. Algunos de ellos son muy largos y difíciles para lograr la precisión necesaria para invocarlos en general. Este tipo de pruebas cubren todos los casos extremos imaginables y son extremadamente herméticas, un concepto que los matemáticos llaman “rigor matemático”. Algunas pruebas son suficientemente fáciles de completar por los estudiantes rigurosamente y comprenden gran parte de la tarea en los cursos avanzados de matemáticas.
Un matemático mirará una declaración de problema de cálculo bajo una luz diferente. Pregúntese “¿por qué puedo hacer esto?” cuando invocas una idea como la diferenciabilidad. ¿Por qué es que una función trigonométrica como sin (x) es continua y diferenciable en todas partes y qué significan realmente esos conceptos? Se le puede enseñar a un alumno a memorizar que la derivada del pecado (x) es cos (x), pero ¿puede demostrar que es un hecho que nadie puede discutir?
Una vez que pueda responder preguntas sobre la naturaleza profunda de una pregunta relacionada “qué hay debajo de todo lo que me enseñaron a usar en el cálculo elemental”, estará mejor equipado para responder la pregunta “qué hay más allá del cálculo”.
