No hay ejemplos interesantes. Todos se parecen a los de Daniel en el siguiente sentido: si intentas precisar tu intuición sobre por qué el cierre de una bola abierta debería ser una bola cerrada en un argumento intuitivo, el argumento intuitivo es que cualquier punto que esté exactamente a una distancia de [math] r [/ math] desde un punto dado debería ser un límite de puntos que están a distancias menores, pero que se aproximan, [math] r [/ math] Esto es cierto en ejemplos familiares como los espacios euclidianos, pero falso siempre que exista algún tipo de discreción en las distancias, como en el ejemplo de Daniel.
El contraejemplo mínimo es un espacio métrico que consta de dos puntos a una distancia de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] entre sí. También se pueden escribir ejemplos donde las distancias no son discretas; por ejemplo, comience con un disco cerrado de radio [matemática] 1 [/ matemática] en [matemática] \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemática], retire la mitad superior, luego agregue nuevamente en el punto [matemática] (0 , 1) [/ matemáticas]. El conjunto de distancias de puntos desde el origen no es discreto, pero todavía hay una especie de “discreción local” alrededor del punto [matemáticas] (0, 1) [/ matemáticas].
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