Cómo resolver esto, [matemáticas] X + Y + Z = 1, \; X ^ 2 + Y ^ 2 = 35 [/ matemáticas] y [matemáticas] X ^ 3 + Y ^ 3 + Z ^ 3 = 97

Cubica la primera ecuación: [matemáticas] (x + y + z) ^ 3 = 1 ^ 3 [/ matemáticas]. Expandido simétricamente en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3 (x + y) z ^ 2 + 3 (x ^ 2 + y ^ 2) z + 3 (x + y) xy + 6xyz = 1 [/ matemática]. Sustituyendo valores que conocemos, [matemáticas] 97 + 3 (x + y) z ^ 2 + 3 (35) z + 3 (x + y) xy + 6 xyz = 1 [/ matemáticas]. Ahora intentamos expresar [matemáticas] x + y [/ matemáticas] y [matemáticas] xy [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] z [/ matemáticas]. El primero es fácil: [matemáticas] x + y = 1-z [/ matemáticas]. Para el segundo, elevamos al cuadrado el resultado anterior para obtener [matemáticas] x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = 1-2z + z ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2xy = -34-2z + z ^ 2 [ /matemáticas]. Sustituyendo en nuestra expansión de [matemáticas] (x + y + z) ^ 3 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 97 + 3 (1-z) z ^ 2 + 105z + 3 (1-z) (- 34 -2z + z ^ 2) / 2 + 6z (-34-2z + z ^ 2) / 2 = 1 [/ matemáticas].

Los métodos estándar para resolver cúbicos (ver Computational Knowledge Engine) producen tres valores posibles para [math] z [/ math]. [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] se pueden encontrar usando las dos ecuaciones [matemática] x + y = 1-z [/ matemática], [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 35 [/ matemática]: elimine [matemática] y [/ matemática], o deje que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] sean soluciones para una ecuación cuadrática [matemática] t ^ 2 + en + b = 0 [/ matemática] donde [matemática] a = – (x + y) = z-1 [/ matemática] y [matemática] b = xy = ((x + y) ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2)) / 2 = ((1-z) ^ 2-35) / 2 [/ matemáticas]; resuelva la ecuación cuadrática resultante para dos soluciones, [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas].

Los números no son muy agradables (es decir, no son racionales), por lo que cometí un error o no es un buen problema.

Tome su segunda ecuación y resuelva para Y en términos de X.

Luego, inserte esto en su primera ecuación y en la tercera ecuación para obtener dos ecuaciones que tengan X y Z como variables.

Luego, en la primera ecuación, resuelve Z en términos de X.

Conecte esa expresión para Z en la nueva 3ra ecuación, y obtendrá una ecuación que solo tiene X en ella. Solución para x.

Luego conecte ese valor para resolver Z y luego resuelva Y.

Esto usó un método para resolver ecuaciones simultáneas que se llama el método de ‘sustitución’.

Es interesante notar que en 3 dimensiones, su primera ecuación es la de un avión. Su segunda ecuación es la de un cilindro, y su tercera ecuación es la de una esfera.

Puede que no se crucen en absoluto o la intersección podría ser un número infinito de puntos.

Gracias por el ‘Rompecabezas’

(1) – Haz de Z el sujeto de la expresión lineal.
(2) – Sustituye Z en la expresión cúbica.
(3) – Expande, reorganiza y factoriza la expresión resultante, para que puedas sustituir cualquier término (X ^ 2 + Y ^ 2).

Lo siento, no puedo hacer esto en mi cabeza después de estar despierto toda la noche.

Buena suerte !

x + y + z = 1 ……………………………………… .. (1)

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 35 [/ matemáticas] …………………………………… (2)

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 97 [/ matemáticas] …………………………… (3)

Cuadratura (1)

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2 (xy + yz + zx) = 1 \ Flecha derecha z ^ 2 + 2 (xy + yz + zx) = – 34 [/ matemáticas] ………… (4)

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2- (xy + yz + zx)) [/ matemáticas]

[matemáticas] 97 = 1 * (35+ z ^ 2- (xy + yz + zx)) [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2- (xy + yz + zx) = 97–35 = 62 [/ matemáticas] ……………………………………………………… (5)

(4) + 2 * (5) da

[matemáticas] 3z ^ 2 = 90 o z ^ 2 = 30 o z = \ pm \ sqrt {30} [/ matemáticas]

sustituyendo en (1)

[matemáticas] x + y = 1 \ mp \ sqrt {30} …………………………. (6) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = \ frac {((x + y) ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2))} {2} = \ frac {(1 \ mp \ sqrt {30}) ^ 2-35} {2} = – 2 \ mp \ sqrt {30} [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2–2xy} = \ pm \ sqrt {39 \ mp 2 \ sqrt {30}}… .. (7) [/ matemáticas]

De (6) y (7)

[matemáticas] x = \ frac {1 \ mp \ sqrt {30} \ pm \ sqrt {39 \ mp2 \ sqrt {30}}} {2} [/ matemáticas]

y = [matemáticas] \ frac {1 \ mp \ sqrt {30} \ mp \ sqrt {39 \ mp2 \ sqrt {30}}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ pm \ sqrt {30} [/ matemáticas]