Estas formas surgen al resolver el cúbico. No es demasiado difícil volver a la ecuación cúbica, que hago en la segunda parte a continuación.
Está claro lo que esto significa siempre y cuando nos atenemos a los números reales. En el ámbito de los números complejos, cada radical es realmente tres raíces cúbicas, por lo que potencialmente hay nueve valores posibles. Pero formas como esta siempre son la solución para un cúbico, por lo que aquí solo queremos decir tres de los nueve valores. Esto se puede aclarar usando solo la raíz del cubo real y escribiendo explícitamente la raíz del cubo de la unidad, que luego puede tomar sus tres valores. Pero nos quedaremos con los números reales aquí.
Para simplificar aún más tenemos que encontrar si esas raíces cúbicas existen en [matemáticas] Q [\ sqrt 2]. [/ Matemáticas] En otras palabras, queremos [matemáticas] (a + b \ sqrt {2}) ^ 3 = 5 \ sqrt {2} +7 [/ math] para el primero, donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son números racionales.
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Podemos escribir las ecuaciones, pero es más fácil adivinar algunas y ver cómo funciona.
[matemáticas] (1+ \ sqrt {2}) ^ 2 = 3 + 2 \ sqrt 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1+ \ sqrt {2}) ^ 3 = (1+ \ sqrt {2}) ^ 2 (1+ \ sqrt {2}) = (3 + 2 \ sqrt 2) (1 + \ sqrt { 2}) = 7 + 5 \ sqrt 2 [/ matemáticas]
Lo tengo en el primer intento.
Eso probablemente significa
[matemáticas] (\ sqrt 2 – 1) ^ 2 = 3 – 2 \ sqrt 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ sqrt 2 – 1) ^ 3 = (3 – 2 \ sqrt 2) (\ sqrt 2 – 1) = -7 + 5 \ sqrt 2 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] \ sqrt [3] {5 \ sqrt {2} +7} – \ sqrt [3] {5 \ sqrt {2} -7} = \ sqrt [3] {(1+ \ sqrt {2}) ^ 3} – \ sqrt [3] {(\ sqrt 2 – 1) ^ 3} [/ math]
[matemáticas] = 1+ \ sqrt {2} – (\ sqrt 2 – 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]
Eso es un número entero.
Habrá dos raíces cúbicas más complejas, pero serán racionales cuando agregue [math] i [/ math] y [math] \ sqrt {3} [/ math] encima de [math] \ sqrt {2} .[/matemáticas]
Bien, hicimos la pregunta sin recuperar la ecuación cúbica. Ese es el camino difícil. Recuperemos la ecuación: es más fácil adivinar una solución para eso.
[matemáticas] (ab) ^ 3 = a ^ 3 – b ^ 3 – 3 ab (ab) [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {5 \ sqrt {2} +7} – \ sqrt [3] {5 \ sqrt {2} -7} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 = 5 \ sqrt {2} + 7- (5 \ sqrt {2} -7) – 3 \ sqrt [3] {(5 \ sqrt {2} +7) (5 \ sqrt {2 } -7)} \ x [/ math]
[matemáticas] x ^ 3 = 14 – 3 x \ sqrt [3] {50 – 49} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 + 3 x – 14 = 0 [/ matemáticas]
Descubrimos que [matemática] x = 2 [/ matemática] es una solución (o supusimos por prueba y error [matemática] x = 2 [/ matemática] es una solución)
[matemáticas] (x – 2) (x ^ 2 + 2x + 7) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -1 \ pm \ sqrt {-27} = -1 \ pm 3 \ sqrt {3} \ i [/ matemáticas]
En este caso, al menos, tomamos la raíz cúbica de los reales para saber qué tan grande es la respuesta. A veces, en lo que se llama casus ireducibilis, obtenemos la raíz cúbica de un número complejo que es más difícil.
Por ejemplo, al calcular cosas como [math] \ cos 20 ^ \ circ [/ math] resolviendo un polinomio en [math] \ cos a [/ math], a saber [math] \ cos (3a) = \ cos 60. [ / math] nos tomamos todas las molestias para resolver el cúbico y nos lleva de vuelta a donde comenzamos: ya sabemos que [math] \ cos 20 ^ \ circ [/ math] es la parte real de [math] \ sqrt [ 3] {e ^ {i 60 ^ \ circ}}, [/ math] es decir, la raíz cúbica de un número complejo.
