Sigo escuchando que la teoría de conjuntos es la base de todas las matemáticas. ¿Pero no es esto como decir: ‘Todos los idiomas se pueden traducir al inglés, por lo tanto, el inglés es la base del idioma’?

No. Las matemáticas son una cosa cultural. Ni siquiera es un solo idioma.

Además, el inglés asigna palabras de diferentes significados a la misma palabra y construye algunas palabras como frases.

La oración de la etiqueta en inglés ‘él nada, NO ES EL’, el pronombre del sujeto invertido + auxiliar se traduce como ‘doch’ en alemán, etc., por eso escuchan a los extranjeros decir ‘él nada, ¿no?’

El inglés asigna varios significados a “siempre”, donde otros idiomas los dividen. La tienda siempre está abierta cuando estoy en la ciudad, no implica una operación 24/7.

El arte del dibujo circular supone que cada círculo es la intersección de un espacio euclidiano, y que puede usar una regla euclidiana en geometría no euclidiana. Para este fin, una línea recta es una instancia de una isocurva que es concéntrica de espacio. Tenemos, por ejemplo, un gran círculo es concéntrico con la esfera.

Obtiene una medida diferente de curvatura, y la idea de que las geometrías son euclidianas + curvatura, que los paralelos son una instancia de una clase más grande, etc., son el resultado de ver la geometría en una luz diferente.

Una mejor analogía podría ser decir que todos los idiomas son implementaciones de
La gramática universal de Chomsky. La gramática universal describe la estructura básica de una gramática, como distinguir nombres de verbos, pero no especifica el orden específico en el que deben aparecer, etc.

La analogía no es perfecta. En primer lugar, hay un poco más de debate sobre la validez UG que sobre la teoría de conjuntos. Además, UG solo describe una parte del lenguaje, no dice nada sobre sintaxis o semántica. Con la teoría de conjuntos puedes construirla para describir los números naturales y la mayoría de las matemáticas.

Puedes construir desde la teoría de conjuntos hasta el cálculo, pero no puedes construir desde el cálculo hasta la teoría de conjuntos.

No es como el francés y el inglés, donde puedes traducir del francés al inglés y viceversa.

Si tuviera alguna otra estructura fundamental, necesitaría poder construir la teoría de conjuntos en sí misma, ya que la teoría de conjuntos es parte de las matemáticas. Hay algunos, pero no son tan simples o intuitivos como la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos es la estructura más pequeña que hemos encontrado a partir de la cual podemos construir el resto de las matemáticas; solo 8 reglas simples.

De ningún modo. El inglés y el francés son dos idiomas alternativos que pueden usarse para el mismo propósito (comunicación). Si la gente supiera ambos idiomas, no importaría cuál de ellos usara.

En contraste, (la mayoría de) otras matemáticas no tienen sentido a menos que tenga la noción de un conjunto. Para dar algunos ejemplos: La definición de un grupo es un conjunto con una operación binaria, tal que … . La definición de un espacio vectorial es un conjunto con dos operaciones, suma y multiplicación con un escalar, de modo que … La definición de un espacio métrico es un conjunto con una función asociada, tal que … .

Sí, tienes toda la razón.

La teoría de conjuntos se puede describir en lógica de primer orden. La lógica de primer orden se puede describir en la teoría de conjuntos. Se puede codificar en teoría de números. También puede basar las matemáticas en la teoría de categorías. Se han propuesto varias teorías de tipos.

La teoría de conjuntos se usa comúnmente por conveniencia y razones históricas. Hilbert pensó que era el principio y el fin de las fundaciones.

Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros.

Atribuido a Hilbert

Veamos

Es imposible proyectar el espacio hiperbólico en el espacio euclidiano.
Es imposible proyectar el espacio euclidiano en el espacio hiperbólico.

Por lo tanto, no.