Cómo encontrar argumentos de [math] z [/ math] (en [math] \ pi [/ math]) if [math] z ^ 3 = \ left (\ frac {1 + i} {1-i} \ right ) ^ 5 [/ matemáticas]

Gracias por el A2A. El lado derecho del paréntesis funciona como [matemática] i [/ matemática], como lo han señalado otros, y [matemática] i ^ 5 = i [/ matemática], así que nos vemos obligados a preguntar sobre los ángulos de las raíces cúbicas de [matemáticas] i [/ matemáticas]. Dado que [math] i [/ math] tiene un ángulo de 90 grados = [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math], una raíz cúbica tendrá un ángulo de un tercio de eso, [math] \ frac {\ pi } {6} [/ math], y puedes obtener los otros dos sumando y restando [math] \ frac {2 \ pi} {3} [/ math] a / desde el primero. Entonces, los tres ángulos son [matemática] \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5 \ pi} {6}, [/ matemática] y [matemática] – \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]. Ese último corresponde a [matemáticas] z = -i [/ matemáticas]. Demasiado para la pregunta.

Quería señalar que la cantidad [matemáticas] \ frac {1 + i} {1-i} [/ matemáticas] aparece en una buena prueba de la identidad de Euler. De las otras respuestas sabemos

[matemáticas] \ dfrac {1 + i} {1-i} = \ dfrac {1 + i} {1-i} (\ dfrac {1 + i} {1 + i}) = \ dfrac {1 + i ^ 2 + 2i} {1-i ^ 2} = \ dfrac {2i} {2} = i [/ matemáticas]

Comencemos con la expresión

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 + ix} + \ dfrac {1} {1-ix} = \ dfrac {1 + ix + 1-ix} {(1 + ix) (1-ix)} = \ dfrac {2} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Integremos

[matemáticas] \ displaystyle \ int (\ frac {1} {1 + ix} + \ frac {1} {1-ix}) dx = \ int \ frac {2} {1 + x ^ 2} dx [/ math ]

[matemáticas] -i \ ln {(1 + ix)} + i \ ln {(1-ix)} = 2 \ arctan x + C [/ matemáticas]

Cuando [math] x = 0 [/ math] todos los términos se desvanecen (asumiendo la rama principal del arctan), entonces [math] C = 0 [/ math], y podemos soltarlo.

[matemáticas] -i \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 2 \ arctan x [/ matemáticas]

Quiero usar [math] \ tan \ frac {\ pi} {4} = 1 [/ math], para convertir [math] \ frac \ pi 4 [/ math] en [math] i \ pi [/ math ] Necesito un factor [matemática] 4i [/ matemática] a la derecha, por lo que multiplicamos ambos lados por [matemática] 2i [/ matemática].

[matemáticas] 2 \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 4i \ arctan x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {(\ dfrac {1 + ix} {1-ix})} ^ 2 = 4i \ arctan x [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ dfrac {1 + ix} {1-ix}) ^ 2 = e ^ {i 4 \ arctan x} [/ matemáticas]

Ahora dejemos que [matemática] x = 1 [/ matemática] así que [matemática] \ arctan x = \ frac {\ pi} {4}. [/ Matemática] Aquí es donde [matemática] \ frac {1 + i} {1- i} [/ math] aparece, aunque podría verlo venir por un tiempo ahora.

[matemáticas] (\ dfrac {1 + i} {1-i}) ^ 2 = e ^ {i 4 \ frac {\ pi} {4}} [/ matemáticas]

Ahora tenemos que cuadrar esa cosa. Ya sabemos lo que hay en los padres es [matemáticas] i. [/ Matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

MatemáticasNúmeros complejos

¿Es aconsejable prepararse para la Olimpiada de Matemáticas estudiando soluciones y entendiéndolas adecuadamente sin tratar los problemas? ¿Será este tipo de aprendizaje fructífero?

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Una de las ventajas de usar la notación de módulo y argumento para números complejos es que es fácil determinar qué sucede cuando se multiplican o dividen. Determinar qué sucede cuando se suman o restan es mucho más difícil.

Su ecuación dice que [matemática] z ^ 3 [/ matemática] es algo así que para encontrar el argumento para z simplemente dividimos eso para [matemática] z ^ 3 [/ matemática] por 3.

[matemática] Arg (1 + i) = \ pi / 4 [/ matemática]

[matemática] Arg (1 – i) = – \ pi / 4 [/ matemática]

Entonces, el argumento que necesita es [matemática] arg (z) = 5 (\ pi / 4 + \ pi / 4) / 3 = 5 \ pi / 6 [/ matemática]

Sin embargo, hay más de una solución porque al echar raíces un argumento de 2 \ pi dividido por la raíz no da ningún ángulo cero.

Un tercio de 360 es 120, por lo que podemos tener 120 grados, 240 grados o 360 grados como respuestas.

Estos dan [matemática] \ pi / 6 [/ matemática], [matemática] 3 \ pi / 2 [/ matemática] y [matemática] 5 \ pi / 6 [/ matemática] como arriba.

David Joyce

Tanto [math] 1 + i [/ math] como [math] 1-i [/ math] tienen un valor absoluto igual a [math] \ sqrt2 [/ math], por lo que su cociente tiene un valor absoluto 1. De hecho, es fácil suficiente para calcular su cociente.

[matemáticas] \ dfrac {1 + i} {1-i} = \ dfrac {1 + i} {1-i} \, \ dfrac {1 + i} {1 + i} = \ dfrac {2i} 2 = yo [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] \ left (\ dfrac {1 + i} {1-i} \ right) ^ 5 = i ^ 5 = i [/ math].

Entonces, necesitamos resolver la ecuación [matemáticas] z ^ 3 = i [/ matemáticas], es decir, estamos buscando las tres raíces cúbicas de [matemáticas] i [/ matemáticas]. Estarán igualmente espaciados en el círculo unitario [matemática] | z | = 1 [/ matemática] en ángulos de 30 °, 150 ° y 270 °, o en radianes, [matemática] \ pi / 6 [/ matemática], [matemática] 5 \ pi / 6 [/ matemática] y [matemática] 9 \ pi / 6 [/ matemática], es decir, [matemática] 3 \ pi / 2 [/ matemática].

Terry Moore

Tenga en cuenta que dividir dos números complejos equivale a restar sus argumentos y dividir sus respectivos módulos. Como el argumento de [matemáticas] 1 + i [/ matemáticas] es [matemáticas] \ pi / 4 [/ matemáticas] y el argumento de [matemáticas] 1-i [/ matemáticas] es [matemáticas] – \ pi / 4 [ / math], el argumento de la RHS es [math] 5 \ pi / 2 = \ pi / 2 [/ math]; lo que implica que el argumento de z podría ser [matemática] \ pi / 6 [/ matemática], [matemática] 5 \ pi / 6 [/ matemática] o [matemática] 9 \ pi / 6 = 3 \ pi / 2 [/ matemáticas].

David Joyce

Es una buena idea racionalizar el denominador multiplicando numerador y denominador por 1 + i. Entonces 32 z ^ 3 = (1 + i) ^ 10. Como arg (1 + i) = pi / 4, arg ((1 + i) ^ 2) = pi / 2 y arg ((1 + i) ^ 8) = 0. Por lo tanto arg ((1 + i) ^ 10 ) = arg ((1 + i) ^ 2) = pi / 2, de modo que
arg z = 10pi / 12 = pi / 6.
Otras soluciones para z tienen argumentos pi / 6 + 2pi / 3 = 5pi / 6 y pi / 6 + 4pi / 3 = 9pi / 6.

David Joyce

Escriba la fracción [math] \ frac {1 + i} {1-i} [/ math] en forma polar y tome su quinta potencia, con respecto a los valores de ángulo arbitrarios entre [math] – \ infty [/ math] y [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]. Luego, a la inversa, tomar la potencia [matemática] 1/3 [/ matemática] es tan fácil como tomar la potencia [matemática] 5 [/ matemática], en forma polar de números complejos.

Observación:

Este es un pequeño problema en mi prueba de la hipótesis de Riemann, en realidad utilicé la rama correcta, pero sin aclarar lo suficiente sobre qué rama estaba usando, y uno de los expertos señaló que necesito aclarar algo sobre ese punto. Terminé con dos páginas para describir lo que tenía razón pero no lo suficientemente claro, con dos gráficos adjuntos para explicar por qué la elección de la rama que hice fue legítima para corregir todo el argumento.

¡Entonces! Tenga cuidado con las funciones exponenciales que implican funciones logarítmicas. En este caso [math] i = e ^ {\ pi i (2k + 1/2)} [/ math] para cualquier número entero [math] k [/ math], es mejor usar la coordenada polar durante el proceso, La respuesta final se puede expresar en coordenadas rectangulares. Mi punto es que no es suficiente calcular este tipo de cosas sin considerar ningún número entero [matemático] k [/ matemático] involucrado, cuando tomas la quinta potencia y la potencia 1/3.

Sin ocuparse de las ramas, el cálculo no es del todo correcto. En un análisis complejo, para las cosas [matemáticas] 5 [/ matemáticas], tenemos que usar la definición de la función logarítmica, que involucra ramas. Lo que hizo no es del todo correcto, ya que a veces necesita asegurarse de qué rama está utilizando en su cálculo.

Yuanyou Fred Cheng