No reclamo ninguna experiencia aquí, pero la equivalencia parece ser bastante inmediata a partir de las definiciones.
Primero suponga que para cualquier [math] \ alpha, S_ \ alpha [/ math] es convexo. Arregle [math] x, y [/ math] y deje [math] \ alpha = {\ rm max} (f (x), f (y)) [/ math]. Por convexidad de [math] S_ \ alpha, f (ax + (1-a) y) \ leq \ alpha = {\ rm max} (f (x), f (y)) [/ math] para [math] a \ leq 0 \ leq 1. [/ math]
Ahora arregle [math] \ alpha [/ math] y suponga que [math] f (ax + (1-a) y) \ leq {\ rm max} (f (x), f (y)) [/ math] se mantiene para todos [math] a \ leq 0 \ leq 1. [/ math] Sea [math] x [/ math] y [math] y [/ math] sean elementos de [math] S_ \ alpha [/ math]. Entonces [math] f (x) \ leq \ alpha [/ math] y [math] f (y) \ leq \ alpha, [/ math] entonces [math] {\ rm max} (f (x), f ( y)) \ leq \ alpha [/ math]. Por lo tanto, [math] f (ax + (1-a) y) \ leq {\ rm max} (f (x), f (y)) \ leq \ alpha, [/ math] y [math] f (ax + (1-a) y) \ en S_ \ alpha. [/ Math] Esto significa que [math] S_ \ alpha [/ math] es convexo.
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