Depende de lo que quiere decir con “matemática” y de cómo defina “la mayoría de las aplicaciones”. En matemática aplicada, las estadísticas probablemente tienen el mayor uso médico, debido al análisis estadístico de los resultados de los ensayos clínicos y de los factores de riesgo médico. En matemática pura, el análisis es otro buen candidato, debido a la inversión de Sigurdur Helgason de la transformación del radón, que eventualmente hizo posibles las tomografías computarizadas y las resonancias magnéticas.
La transformación de radón es una transformación integral que calcula cómo se absorbe un haz de rayos X estrecho a medida que sigue un camino particular a través del cuerpo de una persona. Cada pieza de hueso, tejido blando y sangre absorbe el haz de rayos X de manera diferente, por lo que al final, solo pasa una fracción particular medida de los fotones de rayos X. Si pasa muchos haces estrechos de esta manera en la cabeza de una persona, no obtendrá una imagen de rayos X directa; en su lugar, obtienes una serie organizada de números, que constituyen una transformación aproximada de radón de la densidad espacialmente variable de la cabeza. Superficialmente, estas mediciones de rayos X parecen no revelar mucho sobre el interior de la cabeza de la persona.
Pero, a principios de la década de 1960, Sigurdur Helgason demostró que la transformación de Radón podía invertirse, es decir, que la densidad espacialmente variable original de la cabeza podía reconstruirse a partir de la serie de mediciones de absorción de rayos X. Con suficientes mediciones de rayos X, esta reconstrucción nos da una imagen tridimensional bastante detallada de la cabeza de la persona, con detalles completos de las estructuras internas del cráneo, el cerebro, etc.
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El profesor Helgason realizó este trabajo como parte de su investigación teórica, sin preocuparse por las aplicaciones en dispositivos de imágenes médicas, y otros 10-15 años tardaron en diseñar y construir los primeros escáneres CT. En particular, este resultado de inversión de radón es una pequeña parte de la vida del profesor Helgason. En los últimos años de su carrera, demostró que muchos resultados de análisis clásicos en el espacio euclidiano se pueden extender a resultados similares en grupos de Lie (superficies curvas y espacios que tienen buenas propiedades de simetría).
