Un espacio métrico es un conjunto X junto con una función d (llamada métrica o “función de distancia”) que asigna un número real d ( x , y ) a cada par x , y 
X que satisface las propiedades (o axiomas ):
- d ( x , y )
0 yd ( x , y ) = 0 
x = y , - d ( x , y ) = d ( y , x ),
- d ( x , y ) + d ( y , z ) d ( x , z ).
Ejemplos
- El prototipo: la línea R con su distancia habitual d ( x , y ) = | x – y |.
El plano R2 con la “distancia habitual” (medido utilizando el teorema de Pitágoras):
d (( x 1, y 1), ( x 2, y 2)) =
[( x 1 – x 2) 2 + ( y 1 – y 2) 2].
Esto a veces se llama 2-metric d 2.- La misma imagen dará métrica sobre los números complejos C interpretados como el diagrama de Argand. En este caso, la fórmula para la métrica es ahora:
d ( z , w ) = | z – w |
donde el | El | en la fórmula representan el módulo del número complejo en lugar del valor absoluto de un número real. 
El avión con la métrica del taxi d (( x 1, y 1), ( x 2, y 2)) = | x 1 – x 2 | + | y 1 – y 2 |.
Esto a menudo se llama 1-metric d 1.
El plano con la métrica supremum o máxima d (( x 1, y 1), ( x 2, y 2)) = max (| x 1 – x 2 |, | y 1 – y 2 |).
A menudo se le llama métrica del infinito d
.
Estos últimos ejemplos resultan ser muy utilizados. Para comprenderlos, es útil observar los círculos de la unidad en cada métrica.
Esos son los conjuntos { x R 2 | d ( 0 , x ) = 1}.
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- Toma X para ser cualquier conjunto.
La métrica discreta en la X viene dada por: d ( x , y ) = 0 si x = y y d ( x , y ) = 1 de lo contrario.
Entonces esto define una métrica, en la cual ningún par distinto de puntos está “cerca”.
El hecho de que cada par esté “extendido” es la razón por la cual esta métrica se llama discreta. - Métricas sobre espacios de funciones.
Estas métricas son importantes para muchas de las aplicaciones en análisis.
Sea C [0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas con valores R en el intervalo [0, 1].
Definimos las métricas por analogía con los ejemplos anteriores por: 
d 1 ( f , g ) = 
El | f ( x ) – g ( x ) | dx
Entonces, la distancia entre funciones es el área entre sus gráficos.- d 2 ( f , g ) = [ ( f ( x ) – g ( x )) 2 dx ]
Aunque esto no tiene tal interpretación geométrica directa como el último ejemplo, este caso resulta ser el más importante en la práctica. Corresponde a quién hace una “aproximación de mínimos cuadrados”. 
re ( f , g ) = max {| f ( x ) – g ( x )) | El | 0 0 
X 1}
Geométricamente, esta es la distancia más grande entre los gráficos.
