Tienes 6 bolas idénticas y 6 cajas (distintas) numeradas del 1 al 6. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 6 bolas entre las cajas?

La clave de esta pregunta es que los cuadros pueden estar vacíos. Si cada caja tuviera que tener una bola, entonces habría [matemáticas] 720 [/ matemáticas] formas de distribuir las bolas. Eso es porque, cuando distribuimos las bolas, la primera caja puede recibir 6 bolas diferentes, la segunda caja puede recibir 5 (dado que 1 bola entró en la primera caja), la tercera caja puede recibir 4, y así sucesivamente. ¡El número total de formas de distribuir las bolas = es, por lo tanto, [matemática] 6 \ veces 5 \ veces 4 \ veces 3 \ veces 2 \ veces 1 = 6! = 720 [/ matemáticas].

Sin embargo, dado que los cuadros pueden estar vacíos, este enfoque no funciona. En cambio, podemos resolverlo analizando cada caso posible:

Supongamos que cada caja está vacía. Por lo tanto, solo hay una forma de distribuir las bolas: ninguna se distribuye.

Supongamos que solo se llena 1 casilla. Se pueden colocar 6 bolas diferentes dentro de esta caja, y hay 6 cajas diferentes que podrían estar llenas. Por lo tanto, hay [matemática] 6 \ veces 6 = 36 [/ matemática] formas de distribuir las bolas.

Supongamos que solo se llenan 2 cajas. Hay [matemática] 6 \ veces 5 = 30 [/ matemática] diferentes formas en que dos bolas se pueden poner en las dos cajas, y hay [matemática] \ binom {6} {2} = \ frac {6 \ veces 5} {2 \ times 1} = 15 [/ math] formas de elegir 2 casillas de las 6 que se llenarán. Por lo tanto, hay [matemáticas] 30 \ veces 15 = 450 [/ matemáticas] formas de distribuir las bolas si solo se llenan dos cajas.

Podemos usar el mismo razonamiento para los casos en que se llenan 3, 4, 5 y 6 casillas, y notamos un patrón. La suma total de la cantidad de formas de distribuir las bolas es:

[matemáticas] \ binom {6} {0} + \ binom {6} {1} (6) + \ binom {6} {2} (6 \ veces 5) + \ binom {6} {3} (6 \ veces 5 \ veces 4) [/ matemáticas]
.
[matemáticas] + \ binom {6} {4} (6 \ veces 5 \ veces 4 \ veces 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] + \ binom {6} {5} (6 \ veces 5 \ veces 4 \ veces 3 \ veces 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] + \ binom {6} {6} (6 \ veces 5 \ veces 4 \ veces 3 \ veces 2 \ veces 1) = 13327 [/ matemáticas].

En esencia, elegimos las cajas [matemáticas] n [/ matemáticas] del total de 6 que se llenarán, multiplicamos eso con la cantidad de formas de llenar esas cajas [matemáticas] n [/ matemáticas] con nuestras 6 bolas, y resumimos las posibilidades de [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas].

En general, si queremos llenar los cuadros [math] b [/ math], hay

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {n = b} {\ binom {b} {n} \ times \ frac {b!} {(bn)!}} = \ sum_ {n = 0} ^ { n = b} {\ binom {b} {n} ^ 2 \ veces n! }[/matemáticas]

formas de distribuir las bolas.

Es un subproblema perteneciente al teorema multinomial.
Bueno, la respuesta a este problema es (6 + 6-1) C (6-1).

Nota: Un enlace útil para resolver problemas de bolas y cajas en general: Página en Johndcook

Puede convertir esto en un problema de estrellas y barras, hay 6 estrellas que representan las 6 bolas y 5 barras que representan las 5 divisiones entre cajas, por ejemplo, 1 bola en cada caja es

[matemáticas] * | * | * | * | * | * [/ matemáticas]

El número de formas de organizar 11 cosas con 6 iguales y 5 iguales es

[matemáticas] \ frac {11!} {(6!) (5!)} [/ matemáticas]

No sé