Por alguna razón, fui A2A a pesar de las muchas respuestas geniales existentes. Si un estudiante me hiciera esta pregunta, insistiría en que definamos cuidadosamente lo que queremos decir con “la raíz cuadrada”. Existe una gran confusión acerca de este término, incluso cuando el argumento es un número real positivo, por lo que me gustaría asegúrese de tener una definición clara del término antes de intentar encontrar una respuesta.
Cuando el argumento de la raíz cuadrada es un real no negativo, a menudo definimos el término como la función que mapea los reales no negativos en reales no negativos de tal manera que el cuadrado de la salida sea igual a la entrada. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2.
Es posible que ni siquiera insistamos en que la definición requiera que sea una función y permita que la salida sea el par de números reales cuyo cuadrado es igual a la entrada. Por ejemplo, las raíces cuadradas de cuatro son 2 y -2.
- ¿Rompí las matemáticas?
- ¿Es cierto que las matemáticas mentales pueden ejercitar tu cerebro y hacerte más inteligente en general?
- ¿Qué dijo David Hilbert sobre el teorema de incompletitud de Godel?
- ¿Cómo afecta la discalculia a los adultos?
- ¿Podría haber una segunda prueba del último teorema de Fermat?
Cuando el argumento no es un número real no negativo, no se puede utilizar ninguna definición, por lo que necesitamos algo más. Por analogía con el escenario anterior, hay dos opciones razonables. Una es una función de los números complejos a los números complejos que produce un único resultado para cualquier entrada. A veces se llama la raíz cuadrada principal. La otra opción no es una función y produce un conjunto de resultados cuyo cuadrado es igual al argumento en lugar de solo uno.
- Cada número complejo, [math] z \ in \ mathbb C [/ math] puede escribirse en forma polar como [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math] para algunos únicos, reales, no negativos [ math] r [/ math] y algunos reales únicos [math] \ theta [/ math] en el intervalo [math] [0, 2 \ pi) [/ math]. (Para [matemática] z = 0 [/ matemática], el ángulo no es único, pero eso no importa). Luego definimos la raíz cuadrada de [matemática] z [/ matemática] como un número complejo único dado por [ math] \ sqrt re ^ {i \ theta / 2} [/ math]. Aquí, [math] \ sqrt r [/ math] es el número único no negativo cuyo cuadrado es [math] r [/ math]. Observe que [matemáticas] \ left (\ sqrt re ^ {i \ theta / 2} \ right) ^ 2 = (\ sqrt r) ^ 2 e ^ {2 \ cdot i \ theta / 2} = re ^ {i \ theta} = z [/ matemáticas]. Observe que este enfoque proporciona una respuesta única cuyo ángulo polar está en el intervalo [matemática] [0, \ pi) [/ matemática].
Aplicando este resultado a [math] -i = 1 \ cdot e ^ {1.5 \ pi} [/ math] da [math] \ sqrt {-i} = 1 \ cdot e ^ {0.75 \ pi I} = \ cos ( 0.75 \ pi) + i \ sin (0.75 \ pi) = – \ frac 1 {\ sqrt 2} + \ frac i {\ sqrt 2} [/ math].
- En este caso, queremos producir cada número complejo cuyo cuadrado sea [math] z [/ math]. Observamos que podemos escribir cada número complejo como [math] z = re ^ {i (\ theta + 2 \ pi n)} [/ math] para cualquier [math] n \ in \ mathbb Z [/ math]. Luego definimos la raíz cuadrada de [math] z [/ math] como el conjunto de valores dados por [math] \ sqrt z = \ sqrt re ^ {i (\ theta / 2 + \ pi n)} [/ math ] Observe que [matemáticas] \ left (\ sqrt re ^ {i (\ theta / 2 + \ pi n)} \ right) ^ 2 = re ^ {i (\ theta + 2 \ pi n)} = z [/ math ]
Aplicando esto a [math] -i = e ^ {i (1.5 \ pi + 2 \ pi n)} [/ math] da [math] \ sqrt {-i} = e ^ {i (0.75 \ pi + \ pi n )} = \ cos (0.75 \ pi + \ pi n) + i \ sin (0.75 \ pi + \ pi n) [/ math]. Como el coseno y el seno son ambos [matemática] 2 \ pi [/ matemática] periódica, se deduce que todos los valores pares de [matemática] n [/ matemática] dan la misma respuesta: [matemática] – \ frac 1 {\ sqrt 2 } + \ frac i {\ sqrt 2} [/ math]. Del mismo modo, todos los valores impares de [math] n [/ math] también dan la misma respuesta: [math] \ frac 1 {\ sqrt 2} – \ frac i {\ sqrt 2} [/ math]. Estas son las dos raíces cuadradas de [math] -i [/ math].
Este mismo enfoque puede permitirle interpretar una variedad de funciones valiosas complejas y funciones de valores múltiples.
