¿Hay alguna forma de comprender el tamaño del número de Graham?

En breve, estoy de acuerdo con todas las demás respuestas: no hay forma de que puedas comprender el tamaño del número de Graham. Pero quiero agregar algo más a lo que ya se ha escrito.

1. Sorprendentemente o no, el número de Graham no es el número finito más grande conocido en matemáticas modernas. Hay números mucho, mucho más grandes que él, pero son un poco menos famosos. Uno de esos números es TREE (3) http://googology.wikia.com/wiki/ … que es tan grande que incluso no hay una manera fácil de explicarle a un algoritmo cómo puede alcanzar este número mediante cálculos. (En comparación, en cuanto al número de Graham, hay al menos un algoritmo fácil de explicar). Entonces, TREE (3) ni siquiera está “en el mismo universo” donde el número de Graham “vive” (me gustó esta expresión figurativa que vi arriba) ) Un ejemplo más es SSCG (3), otro campeón mucho más grande que incluso TREE (3): http://googology.wikia.com/wiki/Scg .
2. Diferentes números permiten diferentes niveles de “comprensión” o “imaginación”.

1. Para números relativamente pequeños, digamos 12, puede imaginar fácilmente una cantidad de artículos de ese tamaño.
2. Para números algo mayores, digamos mil millones, no es tan fácil imaginar un conjunto de mil millones de artículos, aunque aún podemos usar referencias simples a algunos hechos del mundo real (como, “mil millones es siete veces más pequeño que el número total de humanos que actualmente habitan la Tierra “). Pero lo más importante es el hecho de que aún podemos imaginar fácilmente mil millones escritos en forma decimal simple (1,000,000,000). Incluso un googol no es tan difícil de imaginar escrito (“1” y 100 ceros).
3. Para números más grandes es imposible escribirlos usando la forma decimal simple solo porque el número de dígitos se vuelve demasiado grande (como en el famoso googolplex que tiene un googol ceros después del “1” inicial). Pero aún podemos “comprender” de alguna manera esos números tal como están escritos en la notación exponencial, por ejemplo: 10 ^ 10 ^ 100 (es decir, 10 a la potencia (10 a la potencia 100)).
4. Para números aún mayores, la notación exponencial se vuelve inútil, pero podemos usar torres de energía en su lugar, por ejemplo: 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 100 (una torre de energía de seis “decenas” con 100 en la parte superior). ¿Podemos decir que podemos comprenderlo? Depende de lo que significa “comprensión”. En términos de a), b) o incluso c) la respuesta es “no podemos”. Pero hay otro nivel de “comprensión”: sabemos que una torre de energía denota una exponenciación consecutiva de arriba a abajo: primero, elevamos 10 a la potencia de 100 (y obtenemos un googol); luego elevar 10 a la potencia de la misma (y obtener un googolplex), (luego elevar nuevamente 10 a la potencia de la misma) repetido 4 veces. ¿Cuántos dígitos tiene 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 100? – ¡Solo 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 100 dígitos! – Bastante sencillo, ¿no?
5. Pero incluso las torres de poder se vuelven tan altas que ya no es posible usarlas. Por ejemplo, 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987, que eventualmente es una torre de poder de 7,625,597,484,987 (¡más de 7 billones!) “Tres”. Si hace que cada “3” de 2 centímetros de alto (menos de 1 pulgada), la torre de energía se elevará desde la Tierra hasta el Sol (aproximadamente 150,000,000 km). ¿Hay alguna otra forma de “comprenderlo” que no sea imaginar una torre de energía hasta el Sol? Creo que no.
6. Y el ejemplo en e) es aún mucho más pequeño que g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3). Ahora las torres de energía no funcionan. Para números tan grandes, solo es posible la representación hiperoperativa. Pero, ¿qué es la “comprensión” de un número? Un número es un concepto matemático abstracto. Si aún comprende la lógica de cómo se puede calcular el número dado, puede afirmar que todavía “comprende” este número en cierto sentido. Eso es todo lo que puedes hacer.

1. ¿51 es más grande que 12? Sí, es significativamente más grande. La diferencia absoluta entre ellos es 39. Ahora, ¿qué pasa con 32,560,074,201 y 32,560,074,240? La diferencia absoluta es la misma, ¡son 39! Pero los números nos parecen “casi iguales”. Este tipo de comparación se puede llamar “comparación sustractiva” ya que se basa en la resta: M – N.
2. El ejemplo anterior muestra que la “comparación de resta” no siempre es útil. A menudo confiamos en una forma diferente de comparación. 72 es 12 veces más grande que 6; 24,000,000,000 es 12 veces mayor que 2,000,000,000. La proporción es la misma, llamémosla “comparación divisional” ya que se basa en M: N.
3. Pero la “comparación divisional” es inútil para algunos números, que son lo suficientemente grandes. Comparemos “1 googolplex” y “12 googolplex”. La proporción es la misma que vimos en el ejemplo b). ¡Pero puedo demostrar que “12 googolplex” es casi lo mismo que “1 googolplex”! Suena contra-intuitivo, pero verifiquemos. Un googolplex es “1” seguido de un cero de googol, una cadena de ceros muy, muy larga, tan larga que el número de ceros (no el número “googolplex” en sí, ¡¡¡solo el número de ceros en él !!!) es mucho más que el número de átomos en todo el Universo observable (incluidas todas las células humanas de todos nosotros, y el planeta Tierra mismo, y todo el Sistema Solar, y todas las otras estrellas en nuestra galaxia, la Vía Láctea, y también todas las demás galaxias miles de millones de años luz a nuestro alrededor, todos esos pequeños átomos invisibles que constituyen la materia, todo lo que existe físicamente). Ahora, multipliquemos un googolplex por el factor de “100” (100 es incluso mayor que 12, así que tomemos 100). ¿Qué significa en términos de notación decimal? ¡Significa agregar solo dos ceros! Entonces, ¡agregamos dos ceros más a esa cadena enormemente larga! Para los números en la escala de googolplex, la “comparación divisional” es inútil: ¡incluso googolplex veces googol es casi lo mismo que un googolplex! (Googolplex multiplicado por googol implica agregar solo 100 ceros más a esa cadena muy, muy larga). ¡Pero ahora podemos emplear la “comparación logarítmica” en su lugar! Es el siguiente nivel de comparación basado en la operación Log (M) N. Digamos M = 10 ^ (10 ^ 100) (es decir, 1 googolplex) y N = 10 ^ (1.2 × 10 ^ 101) (un número con 12 ceros de googol). Log (M) N = 12 como [10 ^ (10 ^ 100)] ^ 12 = 10 ^ (1.2 × 10 ^ 101). Nota: ¡N no es 12 veces más grande que M! No, es mucho más grande: N es M a la potencia de 12 (es decir, en este ejemplo N es googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex veces googolplex).
4. Para números aún mayores, la “comparación logarítmica” se vuelve inútil. ¿Qué pasa si elevamos googolduplex (un número con un cero googolplex) a la potencia de 12? Vamos a comprobarlo: un googolduplex es 10 ^ (10 ^ (10 ^ 100)). Googolduplex a la potencia de 12 es [10 ^ (10 ^ (10 ^ 100))] ^ 12. Elevar un número, que es en sí mismo una potencia, a otra potencia significa la multiplicación de los exponentes: [10 ^ (10 ^ (10 ^ 100))] ^ 12 = 10 ^ (12 × 10 ^ (10 ^ 100)), es decir ahora es un número con 12 ceros googolplex. Pero como demostré en c), 12 googolplex es casi lo mismo que 1 googolplex. ¡Entonces, googolduplex a la potencia de 12 es casi lo mismo que googolduplex! Contra-intuitivo, ¿verdad? Ahora es el momento de la “comparación súper logarítmica”. El superlogaritmo es una operación inversa de la tetración. Para decirlo sin rodeos, el superlogaritmo decimal es la altura de la torre de poder de decenas. Slog (3) 3 ↑↑↑ 3 = 7,625,597,484,987, entonces Slog (10) 3 ↑↑↑ 3 ~ 7,625,597,484,986 (solo porque 3 ^ 3 – los dos niveles superiores de la torre de energía – ya es más de 10). Nota: incluso no tiene sentido preguntar “¿cuántos dígitos tiene 3 ↑↑↑ 3 en la forma decimal simple?” La respuesta será: ¡solo 3 ↑↑↑ 3 dígitos! (Más precisamente: será una torre de energía de decenas con una altura = 7,625,597,484,985 – resté “1” de la altura original de la torre de energía de decenas). ¡Para los números de este nivel de escala, un número en sí y una cantidad de dígitos son “casi iguales”!
5. Con cada nuevo nivel de escala, necesitaremos inventar nuevos y nuevos niveles de comparación para poder manejar los números de manera adecuada. Pronto, obtendremos una “comparación super-super-logarítmica” (o anti-pentational), luego anti-hexational, anti-heptational y así sucesivamente. Para alcanzar el nivel adecuado de comparación para el número de Graham, tendríamos que proceder con los pasos de g63 como se indica arriba, ¡donde g63 es un número inimaginablemente grande por sí solo!

No hay un punto de referencia de cuán grande es este número. Este es uno de los hechos notables sobre la información. Puede leer una breve descripción de la notación de flecha hacia arriba y, en pocos minutos, comprender, en teoría, cuáles son los pasos para calcular el número de Graham. No es que REALMENTE puedas llevar a cabo el cálculo, solo podrías aprender cuáles son los pasos.

El número de volúmenes de Planck en el universo conocido multiplicado por el número de veces de Planck desde el Big Bang es ~ [matemática] 10 ^ {245} [/ matemática], o ~ [matemática] 3 ^ {490} [/ matemática]

El primer término en la serie de rápido crecimiento que culmina en el número de Graham es g1 y es igual a 3 ↑↑↑↑ 3, o [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ 3}}} [/ matemáticas] o [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {7625597484987}} [/ matemáticas].

Ni siquiera hay una buena manera de comprender cuán pequeño se compara el mayor número físicamente relevante ([matemáticas] 3 ^ {490} [/ matemáticas]) con g1.