¿Cuál es la ecuación del par de líneas a través de [matemáticas] (3, -1) [/ matemáticas] perpendicular a las líneas representadas por [matemáticas] x ^ 2-xy-2y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]?

Par de líneas rectas que pasan por el origen perpendicular al par de líneas rectas [matemática] ax ^ 2 + 2hxy + por ^ 2 = 0 [/ matemática] es

[matemáticas] bx ^ 2–2hxy + ay ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

(Coeficientes de intercambio de x² e y² y coeficiente de negación de xy)

Entonces, el par de líneas rectas perpendiculares a un par dado de líneas rectas es: –

[matemáticas] -2x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Ahora cambie el origen a (3, -1)

[matemáticas] -2 {(x-3)} ^ 2+ (x-3) (y + 1) + {(y + 1)} ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Cuál es la ecuación requerida, es posible que deba expandirla para que coincida con una opción.

Editar: Expansión:

[matemáticas] -2 (x²-6x + 9) + (xy-3y + x-3) + y² + 2y + 1 = 0 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] -2x² + 12x-18 + xy-3y + x-3 + y² + 2y + 1 = 0 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] -2x² + xy + y² + 13x-y-20 = 0 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 2x²-xy-y²-13x + y + 20 = 0 [/ matemáticas]

La ecuación original se puede factorizar como

(x-2y) (x + y) = 0, lo que implica que las ecuaciones de las líneas son x = 2y y x + y = 0, ahora encuentre ecuaciones de líneas perpendiculares a estas líneas respectivas y que pasen por el punto (3, -1) y obtendrías dos ecuaciones de líneas que satisfacen las condiciones. El par de ecuaciones estaría multiplicando ambas ecuaciones y equiparándolas a ‘0’. Entonces obtendrías el par de líneas satisfaciendo las condiciones dadas.