Con respecto a los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, ¿qué significa que el axioma ‘un conjunto está determinado por sus elementos’ es una afirmación no trivial sobre la pertenencia?

La definición 101 de un conjunto basado en el concepto de una ‘colección bien definida’. Esto pretende denotar el hecho de que se puede decidir de manera concluyente si un objeto dado pertenece a un conjunto particular X.

Por ejemplo, digamos que X es el conjunto de todos los enteros. Ahora alguien nos da un elemento 2. Podemos decir que pertenece a X ya que 2 es un número entero. Si alguien nos da 1/2, podemos decir que este elemento no pertenece a X.

Un conjunto también puede tener ‘conjuntos’ como sus elementos. Por ejemplo, Y es un conjunto que consta de conjuntos con exactamente 2 elementos.

La no trivialidad de este concepto fue popularizada por Bertrand Russell en lo que se conoce como la Paradoja de Russell. Antes de explicar la versión laica de esta paradoja, necesitamos dos definiciones

1. Un conjunto se llama Normal si no es miembro de sí mismo.
2. Un conjunto se llama anormal si es un miembro de sí mismo.

La paradoja de Russell: Sea X el conjunto de todos los conjuntos normales. Es X normal o anormal.

No hay respuesta a esto usando el concepto bien definido.

Si X es normal, entonces X no pertenece a X. Lo que lo hace anormal.
Si X es anormal, entonces X no pertenece a X. Lo que lo hace Normal.

Se creó otro sistema de teoría de conjuntos para resolver tales problemas. Se le conoce popularmente como teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel o teoría de conjuntos de ZF.

Puede leerlo en línea para obtener más información.

Espero que esto te ayude.

Gracias por leer.

-Aniket.

“Un conjunto está determinado por sus elementos” caracteriza la igualdad. Es un axioma que establece que un conjunto S es igual a un conjunto T si y solo si (1) cada elemento de S es un elemento de T , y (2) cada elemento de T es un elemento de S.

Hay otras cosas como conjuntos que comparten muchas de las mismas propiedades de los conjuntos pero que no tienen ese axioma, conjuntos múltiples y conjuntos ordenados, por ejemplo.

Un conjunto múltiple es como un conjunto, pero un elemento en un conjunto múltiple puede aparecer más de una vez. Por ejemplo, S = { a, b } y T = { a, a, b } son dos conjuntos múltiples diferentes a pesar de que contienen los mismos elementos, ay b .

Un conjunto ordenado tiene un orden S con elementos a no es el mismo conjunto ordenado que T con elementos a

El axioma excluye esas posibilidades de los conjuntos. Los conjuntos están determinados solo por sus elementos; los conjuntos no tienen otra estructura como los conjuntos múltiples y los conjuntos ordenados tienen.