¿Por qué es importante el rigor matemático?

El rigor matemático es importante por al menos tres razones:

1. No puede estar 100% seguro de que sus conclusiones sean correctas a menos que su argumento sea riguroso. En principio, debería ser posible tomar cualquier prueba matemática y hacer que una computadora verifique línea por línea para verificar que sea válida.
2. Si no es riguroso, podría estar haciendo suposiciones adicionales que se da cuenta de que existen, y esto podría cegarlo ante la posibilidad de nuevas vías de exploración que de otro modo no consideraría.
3. Si puede probar algo rigurosamente, entonces puede tomar esa prueba y aplicarla en nuevas áreas que nunca antes había considerado.

La primera posibilidad es la más directa y la más evidente. Hay suficientes “pruebas” de, digamos, la hipótesis de Riemann en línea para ahogarse. Desafortunadamente, los humanos son muy buenos para convencerse de cosas que simplemente no son ciertas. Incluso los matemáticos profesionales cometen errores: después de solo un minuto de búsqueda, encontré una Lista de ideas matemáticas refutadas en Wikipedia. Puedo decirle ahora que esa lista está lejos, lejos de estar completa.

La segunda posibilidad también es muy importante. Se ha observado innumerables veces que la lista de axiomas de Euclides para la geometría era de hecho muy incompleta, a pesar de sus mejores esfuerzos en contrario, sus pruebas todavía estaban llenas de todo tipo de suposiciones adicionales que simplemente se perdió. Y esto es increíblemente importante, porque significa que podría haber otras geometrías donde esas suposiciones adicionales no se cumplen, y muchos de los teoremas de Euclides tampoco se cumplen. Es decir, la geometría euclidiana está lejos de ser la única geometría existente. Esto se descubrió por primera vez a través de la geometría proyectiva, hiperbólica y elíptica, pero hoy en día hay todo tipo de cosas que estudiamos que satisfacen algunos de los axiomas de Euclides, pero no otros.

La tercera posibilidad es probablemente la más inesperada, por lo que quizás sea una buena idea explicar de dónde viene con el ejemplo. Cada estudiante de grado sabe acerca de la factorización prima, pero muy pocas personas realmente saben cómo demostrar que la factorización prima de enteros realmente funciona. Tengo un informe sobre Quora de una prueba de que todos los enteros son divisibles por un número primo aquí. ¡Puede notar que no es breve, a pesar del hecho de que todavía había algunas propiedades de los enteros que estaba dando por sentado sin pruebas! El teorema de factorización prima es una consecuencia fácil del trabajo que hice allí, pero puedes ver que es algo no trivial probar rigurosamente.

Podría argumentar razonablemente que, para algo tan obviamente cierto, poner tanto trabajo es completamente inútil. ¡Pero estarías equivocado! La razón de esto es que una vez que se da cuenta de cuáles son los supuestos que tuvo que hacer para probar el teorema, puede usar el teorema para cualquier cosa que satisfaga esos supuestos, no solo los enteros. Entonces, por ejemplo, puede probar que la factorización prima funciona para polinomios reales, polinomios racionales, enteros gaussianos, enteros Eisenstein, etc., etc. Si tiene una prueba rigurosa y bien escrita, puede aplicarla en todo tipo de interesantes maneras en las que simplemente no hubieras pensado de otra manera.

Y, para reiterar mi comentario de advertencia original de que la falta de rigor puede conducir a un mal camino matemáticamente, debo señalar que uno de los primeros intentos de probar el último teorema de Fermat se basó en factorizar [matemáticas] X ^ n + Y ^ n = Z ^ n [/ math] en alguna extensión de los enteros, falló precisamente porque las condiciones necesarias para tener factorización prima no se aplicaban en esas extensiones.

Cada rama de las matemáticas se basa en algunos axiomas de ese tema. Si un teorema no satisface esos axiomas, ¿cómo podemos decir que el teorema es verdadero? Los axiomas básicos de todos y cada uno de los campos de las matemáticas se han establecido después de años y años de trabajo, a veces décadas. Esos son los fundamentos de las ramas. Si la raíz de una rama de un árbol no es fuerte, ¿puede retener alguna tormenta? No. Simplemente así, si no hay rigor matemático, entonces el teorema no puede resistir las críticas. Nunca puede estar seguro de que siempre tiene la razón. Incluso a veces los matemáticos usan softwares para verificar cada paso de su solución y verificar si están en lo correcto. Los matemáticos usaron la intuición antes para probar varios teoremas. Puedes tomar el ejemplo de sir Ramanujan.

Sir Ramanujan usó su intuición para predecir sobre varias series, particiones, problemas en Combinatoria. Pero su profesor, el señor GH Hardy, siempre le aconsejó que mostrara pruebas rigurosas. A veces incluso lo ordenó. ¿Por qué tanta restricción? Porque aunque la mayoría de las intuiciones de sir Ramanujan eran correctas, hubo algunos errores en su teoría de los números primos. Simplemente predijo la serie por intuición. Sir Hardy luego lo llevó a su límite ordenándolo una y otra vez hasta que entendió completamente la importancia del rigor matemático y comenzó a aplicarlos.

Otro ejemplo puede ser: en el trabajo de Euclides fue imposible demostrar que un círculo tiene un interior y un exterior, pero un círculo obviamente tiene un interior y un exterior. Su teorema tenía muchos agujeros. Pero las matemáticas avanzadas demostraron rigurosamente esas fallas. Repito rigurosamente.

Puede ver que la ciencia ha avanzado mucho, al igual que las matemáticas. Cada día se introducen ideas más complejas que, sin rigor matemático, son difíciles de entender. La falta de rigor puede enviar un teorema a la papelera. Por lo tanto, es importante no solo para verificar sus ideas, sino también para otras personas, para que puedan entender lo que ha escrito. Que no son un montón de expresiones matemáticas, sino una operación significativa de expresiones matemáticas.

9.2.2016 – “¿Por qué es importante el rigor matemático?”

El rigor matemático es importante tanto en matemáticas como en sus usos, pero ¿por qué?

El rigor es un estándar de prueba que se considera que garantiza la certeza.

Los sistemas matemáticos implican una compleja interconexión entre teoremas (y, por supuesto, axiomas). Si estamos seguros de los teoremas, estamos seguros de los resultados (otros teoremas en un sistema). Cualquier error invalida todos los resultados o teoremas dependientes (derivados). Por lo tanto, el rigor es esencial en las matemáticas. Incluye la preocupación no solo con los resultados o teoremas, sino también con la investigación de la consistencia y la integridad de los sistemas de axiomas. Además, en matemáticas, aunque la intuición es importante, la formalidad del rigor a menudo sugiere resultados y pruebas (la formulación rigurosa permite el razonamiento metamatemático). Un ejemplo: después de la introducción del rigor al cálculo en el siglo XIX (debido a Weierstrass, Dedekind y muchos otros), la formulación rigurosa y axiomática permitió grandes desarrollos posteriores en el análisis. A veces, a medida que se desarrolla un sistema matemático, el rigor llega más tarde. Pero para tener confianza en el sistema y construir sobre él y comprenderlo, el rigor es esencial.

En una ciencia matemática como la física, los resultados no siempre esperan el rigor matemático. Pero para tener confianza en los resultados es necesario tener confianza en todos los enlaces: datos, teorías y matemáticas. Si las matemáticas son rigurosas, esto aumenta la confianza en el resultado (y por la misma razón nos gusta el “rigor experimental”, que significa confianza, si no precisión absoluta; y la formación de la teoría tiene su propio tipo de rigor, pero profundizar en eso nos quitaría el impulso tema aquí) – y si no se confirma una predicción, aumentar la confianza en tantos enlaces como sea posible ayuda a localizar la fuente del error.

El rigor matemático es importante en las matemáticas y sus usos.

Probablemente, el mejor ejemplo disponible es también lo suficientemente famoso como para que lo sepan todos los matemáticos: la crisis fundamental de principios del siglo XX. Esto es cuando las ideas geniales de Cantor llegaron a existir, pero fue un momento de mayor importancia matemática que el que justifica la teoría de Cantor de los cardenales transfinitos.

Este fue el momento en que descubrimos que los fundamentos de las matemáticas modernas eran profundamente defectuosos. Como probablemente sepa, las matemáticas se basan en la teoría de conjuntos. Puede opinar que no debemos preocuparnos por el aburrido formalismo que subyace a las cosas interesantes, pero cuando considera que todo lo que nos importa, desde las funciones hasta las categorías y los derivados, son solo conjuntos disfrazados, puede encontrar los fundamentos más importantes. Un descubrimiento famoso fue la paradoja de Russell, llamada así por Betrand Russell, que es la siguiente: considere el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen, ¿ese conjunto está contenido en sí mismo o no? Es difícil de analizar, pero eventualmente concluirá que tiene una clara contradicción.

Déjame repetir eso en diferentes términos. El objeto más básico en todas las matemáticas conduce a una contradicción. Las matemáticas parecen contradecirse en algunas situaciones. Esto y más abrió el camino a la teoría de conjuntos axiomática tal como la conocemos hoy, lo que condujo a una versión completamente rigurosa del análisis real (ver el comentario de Senia Sheydvasser) y mucho más.

Para los matemáticos, el rigor puede no serlo todo, pero es lo que se requiere de todo trabajo, de lo contrario es probable que demostremos falsos teoremas, construyamos teorías descaradamente inconsistentes y más.

El razonamiento deductivo se tiene en alta estima en la civilización mundial, y especialmente en cualquier sociedad influenciada por los antiguos griegos, que lo inventaron. En particular, griegos como Euclides y Sócrates pensaban que el razonamiento deductivo (es decir, lógico) es el camino de oro hacia la verdad.

Y las matemáticas, desde Euclides, se han apoyado directamente en la prueba en forma de razonamiento deductivo.

Pero hay una debilidad con el razonamiento deductivo. Supongamos que tiene una cadena larga en una prueba lógica o matemática. Supongamos que tiene 50 pasos de largo. Para pruebas complejas muy avanzadas, como la del último teorema de Fermat o el teorema de incompletitud de Godel (dos de las deducciones más importantes del siglo pasado), el número de pasos es muy largo, por lo que puede llevar semanas o incluso meses para que un experto de clase mundial verifique que cada último paso sea completamente válido.

Y aquí está el problema con eso … ¡Si la prueba es de 50 o 100 pasos, solo se necesita un paso incorrecto para que la conclusión sea completamente inválida! Un paso inválido o una suposición incuestionable puede permitir fácilmente que un defensor inteligente “pruebe” las conclusiones más locas, como “La Luna está hecha de queso verde” o “Todos debemos llamar al Reverendo Moon como el Mesías”.

Los argumentos ordinarios que se ocupan de tales problemas tienden a tener solo unos pocos pasos de razonamiento puramente deductivo … por lo tanto, generalmente puede detectar tales errores al mantenerse alerta y estar en guardia ante falacias lógicas.

Pero las pruebas en el área de las matemáticas son con frecuencia docenas de pasos, como he mencionado. Por lo tanto, el rigor es absolutamente esencial … porque si permite incluso los errores (aparentemente) más pequeños, puede llegar a conclusiones totalmente erróneas.

Esta es una pregunta un tanto importante. Prefiero responder cuando el rigor matemático es importante, porque creo que en algunos contextos no es importante o incluso molesto.

El rigor matemático a menudo es útil en matemáticas puras, donde puede conducir a nuevos descubrimientos y a una mejor comprensión de los resultados teóricos que se derivan primero de una base menos rigurosa, así como descubrir relaciones entre problemas aparentemente no relacionados. Finalmente, algunos lenguajes matemáticos formales incluso permiten la verificación automática de pruebas, lo que puede quitarle una carga * de la mente al matemático.

En áreas de matemática aplicada, el rigor puede no ser necesario para la comprensión relevante de la aplicación. El artículo wiki sobre el rigor matemático proporciona un ejemplo de la física donde la expectativa matemática rigurosa es contraria a la observación física (Rigor; ver también el artículo citado por Gelfert para un ejemplo donde la simulación numérica y la teoría no están de acuerdo). Otro ejemplo menos extremo que viene a la mente sería el enfoque de un diseñador de circuitos para la transformación de Laplace (transformación de Laplace) en contraste con un enfoque matemático para el mismo concepto; diferentes perspectivas (más o menos rigor en este caso) pueden ser útiles en diferentes situaciones y para diferentes fines.

*la carga de la prueba

Es la forma de decir más y más sobre menos y menos. Si se logra un equilibrio entre esos extremos, tiene qué rigor debería ser.

El rigor es absolutamente importante, pero cuanto más se incrementa, menos podemos saber a qué se aplica.

“Si uno debe elegir entre rigor y significado, sin dudarlo elegiré el último”. – Rene Thom

Más citas de él:

TOP 11 CITA DE RENE THOM | Cotizaciones AZ

No sé por qué obtuve el A2A (posiblemente porque soy un poco ruidoso y obstinado que muerde más de lo que puede masticar), pero en su mayoría me referiré a los matemáticos reales, solo para agregar un poco. opinión.

Cuando se trata de aplicar modelos matemáticos a experimentos físicos, diría que no es demasiado útil. Heaviside demostró resultados bastante efectivos con métodos ondulados que enfurecieron a los matemáticos puros de su tiempo.

Por otro lado, si está aplicando un argumento matemático a un resultado teórico enormemente general en otro dominio, por ejemplo, teoría de juegos o cuerdas o, por supuesto, sobre entidades matemáticas abstractas, desea que sus pruebas sean ajustadas, claras, exhaustivas y explícito sobre cada suposición hecha. En el primer caso, se debe a que no tiene una forma económica y preparada de obtener una gran cantidad de datos confirmatorios sobre los fenómenos que está estudiando, por lo que es mejor que se asegure de que su conocimiento se cumpla para todos los casos concretos concebibles. En el último caso, está mostrando el debido respeto por sus objetos de estudio, que se definen de acuerdo con reglas formales en un lenguaje inequívoco y se relacionan precisamente entre sí mediante axiomas fundamentales.

El rigor es importante para aquellos que intentan seguir sus ideas matemáticas. Si sus ideas son brillantes y radicales, entonces el rigor permite a los demás que intentan comprenderlas. La capacidad de llegar fácilmente a ese entendimiento.

Para mí trabajando con computadoras. El rigor de las matemáticas es equivalente a los comentarios en el código.

Certeza en la nomenclatura matemática, y si hay una nueva teoría o afirmaciones discutibles, entonces una notación aceptable para la aprehensión inmediata

Por la misma razón, la experimentación es importante en la ciencia. Si sus ideas no están verificadas, son conjeturas inútiles.