Puede ser útil comenzar con las matemáticas básicas y ver cómo funcionan las cosas hasta el álgebra abstracta.
Comencemos con la aritmética. Esa es la parte de las matemáticas con la que todos están más familiarizados: la práctica de manipular números a través de operaciones simples como suma, resta, multiplicación y división. Todos necesitan aritmética para pasar un día de compras, conducir un automóvil o equilibrar sus chequeras. (Sospecho que muchas personas realmente identifican la aritmética con las matemáticas, lo que lleva a la pregunta que la gente a menudo me hacía cuando estaba haciendo mi doctorado, a saber, “¿No se ha descubierto todo lo relacionado con las matemáticas?”)
El siguiente es el álgebra. Aquí es donde entran en juego esos misteriosos símbolos como “x”. A menudo, incluso en problemas bastante simples, desea averiguar qué números satisfacen ciertas propiedades. Por ejemplo: ¿Cuándo habré vivido la mitad de mi vida en California? Bueno, si tengo 40 años y he vivido aquí 15 años, entonces en x años habré vivido aquí (15 + x) años y luego tendré (40 + x) años, entonces cuando sea ( 15 + x) es la mitad de (40 + x)? Cuando 30 + 2x = 40 + x, es decir x = 10. Eso es álgebra. La manipulación de símbolos para resolver problemas numéricos.
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Entonces, ¿qué es el álgebra abstracta? También se trata de la manipulación de símbolos, pero en este caso no necesariamente representan números. Representan objetos abstractos que tienen una relación entre sí, que pueden interactuar entre sí de maneras bien definidas. El álgebra es entonces el estudio de estas interacciones y sus efectos. Y aunque los objetos de estudio no son necesariamente números, son los números los que proporcionan la motivación para el álgebra abstracta, que son los ejemplos concretos más simples de estos objetos abstractos. Y las reglas de interacción se basan en las reglas de la aritmética.
Por lo tanto, el álgebra abstracta sirvió como una forma de reducir los números a sus elementos esenciales (símbolos que se pueden combinar para producir símbolos similares, como sumar o multiplicar dos números para producir un tercer número) y luego estudiar estas propiedades esenciales para producir principios generales y observaciones . Es un poco como la forma en que los economistas piensan de los seres humanos únicamente en términos de sus ingresos y deseos. Los seres humanos son más complicados que eso, pero al ignorar cualquier cosa que sea irrelevante para el estudio de la economía, puedes crear teorías que se apliquen a diferentes culturas, países y siglos.
Los matemáticos que estudian álgebra abstracta hablan de “elementos” de un “grupo” que se “multiplican” para producir nuevos elementos, al igual que los números en la recta numérica que se pueden multiplicar. Hay un elemento de “identidad” que no tiene efecto en la multiplicación, al igual que el número “1”. Hay una operación “inversa”, que es lo mismo que tomar el recíproco de un número (“uno sobre” el número). Pero la noción de “grupo” se puede aplicar igualmente a otros conjuntos de objetos: por ejemplo, las matrices se pueden multiplicar e invertir. Y las transformaciones de imágenes (estirarlas, rotarlas, etc.) también forman un grupo.
Por lo tanto, los matemáticos pueden probar teoremas generales sobre grupos que luego pueden aplicarse en una gran variedad de ejemplos complejos y del mundo real. Y también pueden crear nuevos objetos algebraicos cuyos elementos no se comportan tan bien como los números, o son más complejos, y que también tienen propiedades interesantes, y pueden aplicarse aún más ampliamente.
El campo del álgebra abstracta (o “moderna”) se ha vuelto increíblemente rico y poderoso. Ahora es apenas un campo de estudio separado, sino más bien una base o caja de herramientas para casi todos los demás campos de las matemáticas, así como la física y las otras ciencias.
