¿Por qué cuando dos vectores se multiplican a través del producto cruzado, la resultante es perpendicular a dos vectores multiplicados?

En lugar de preguntar por qué es así, deberíamos preguntar por qué se define de esta manera. Y la pregunta más importante debería ser, ¿es útil esta definición?

En primer lugar, observe que dicha definición es una buena manera de combinar dos vectores en un tercer vector de una manera no trivial. Puede definirlo a partir de la construcción geométrica del uso de la regla de la mano derecha junto con una magnitud de [math] AB \ sin \ theta [/ math]. Es equivalente a la definición algebraica de usar el determinante, o usar la definición básica de [matemáticas] \ hat {i} \ times \ hat {j} = \ hat {k}, \ hat {j} \ times \ hat {i } = – \ hat {k} [/ math], etc., junto con el requisito de que el producto cruzado sea distributivo y sobre las adiciones. Recuerde que estos son intentos de hacer que esta multiplicación parezca normal. Pero primero, como saben, no es conmutativo, lo cual no es un gran problema. Nos ocupamos de la multiplicación no conmutativa todo el tiempo en matrices, por ejemplo. El siguiente es más crítico: no es asociativo. [matemáticas] (\ vec {A} \ times \ vec {B}) \ times \ vec {C} \ neq \ vec {A} \ times (\ vec {B} \ times \ vec {C}) [/ math ] en general. Además, dicha multiplicación no tiene un “elemento de identidad” [math] \ vec {e} [/ math] tal que [math] \ vec {e} \ times \ vec {A} = \ vec {A} [/ math ] En resumen, esto es algo así como una multiplicación por un lado, pero no como una por el otro.

Eso nos deja con una sola pregunta: ¿es útil una definición tan loca? Probablemente conozca la respuesta, de lo contrario no la aprenderá ni preguntará al respecto.