Mientras dibujamos la gráfica de Bode, graficamos la ganancia y la fase como funciones de frecuencia. Por lo tanto, es un método de dominio de frecuencia.
Mientras dibujamos el lugar geométrico raíz, trazamos las raíces de la ecuación característica como funciones de la ganancia y no de la frecuencia. Por lo tanto, no es un método de dominio de frecuencia.
Ahora puede preguntarse, ¿por qué llamamos al método de ubicación raíz un método de dominio de tiempo, aunque en realidad esté en el K ( Ganancia – Dominio ). La respuesta a esta pregunta radica en la forma en que se utiliza el método de locus raíz. Así que echemos un vistazo a los orígenes del método de locus raíz.
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Considere una función:
A continuación se muestran las respuestas escalonadas de este sistema para varios valores de la ganancia:
Respuesta sobreamortiguada – ( K = 1 ) – Ganancia baja :
Ligeramente subamortiguado ( K = 10 ) – Ganancia media :
Muy amortiguada ( K = 100 ) – Alta ganancia :
La respuesta con K = 1 fue demasiado lenta, la respuesta con K = 100 fue demasiado oscilatoria y la respuesta con K = 10 es casi correcta, aunque es posible que queramos ajustar K para obtener un poco menos de sobreimpulso. Claramente, este método es bastante empírico y puede llevarnos mucho tiempo encontrar un valor adecuado para K.
Un mejor método es calcular el discriminante de la función característica para descubrir polos que están subamortigados.
Recuerde que las raíces de una ecuación de segundo orden de la forma:
son dados por:
La relación de amortiguamiento viene dada por la relación de las partes real e imaginaria. Dado que una relación de amortiguamiento de la unidad es el caso límite entre los sistemas subamortiguado y sobreamortiguado, igualemos las partes real e imaginaria entre sí:
Resolviendo cuál, obtenemos:
y la respuesta al paso se muestra arriba. Como puede ver, es superior a nuestros otros intentos; es razonablemente rápido con sobreimpulso bastante pequeño.
Sin embargo, este método es adecuado solo para sistemas de segundo orden. Para sistemas de orden superior es difícil calcular el discriminante. Es aquí donde entra el método de locus raíz.
Considerar
Ahora vamos a trazar las raíces de esta ecuación, para diferentes valores de la ganancia:
Hay mucha información en este diagrama. Nos dice que el sistema comienza sobreamortiguado para valores pequeños de K ( K <4.5 ), y se amortigua a medida que K aumenta, y se amortigua cada vez más a medida que K continúa aumentando. Para sobreamortiguado, las raíces son reales y desiguales. Para amortiguamiento crítico ( K = 4.5 ), las raíces son reales e iguales. Para amortiguamiento ( K> 4.5 ), las raíces se rompen en el plano complejo. Por lo tanto, a medida que aumenta la ganancia, el sistema pasa de una respuesta lenta a la respuesta oscilatoria correcta.
Un diagrama de locus raíz es una variación de este tipo de diagrama. Muestra el camino de las raíces a medida que K varía, pero no muestra los valores reales de K. En lugar de resolver la ecuación característica y luego trazar las raíces wrt K., hacemos la siguiente manipulación algebraica:
Lo sabemos:
luego,
Entonces, graficamos G (s) , como una función de K. (Si la función de transferencia de retroalimentación no es la unidad, entonces estaríamos trazando G (s) .H (s) como una función de K).
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Ahora volviendo a la pregunta de por qué el método de locus raíz se llama método de dominio de tiempo.
Debería ser obvio de la discusión anterior que el lugar de raíz no es más que un método para variar el discriminante de la ecuación auxiliar correspondiente a la ecuación diferencial. El discriminante depende del valor de la ganancia y al variarlo verá cómo el sistema pasa de ser un sistema sobreamortiguado a ser amortiguado críticamente y luego amortiguado.
La razón por la que hacemos el proceso en el dominio de frecuencia compleja en lugar del dominio de tiempo es para aprovechar los resultados de la geometría analítica y evitar métodos basados en cálculos (recuerde que la transformación de Laplace transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica , por lo que traza las raíces de la ecuación característica ahora es tan fácil como trazar una función algebraica.) Pero la filosofía de diseño todavía se basa en el dominio del tiempo. Estamos trabajando con una solución parcial de la ecuación diferencial (las raíces de la ecuación auxiliar determinan la solución general de la ecuación diferencial).
Por el contrario, en el método de diagrama de Bode, no estamos tratando de resolver la ecuación diferencial de ninguna manera. Trazamos la ganancia y la fase con respecto a la frecuencia y hacemos inferencias a partir de ahí.
