Esta es una vieja pregunta, pero he tenido la intención de darle una respuesta. Voy a explicar la definición del artículo de Wikipedia. El nivel de explicación varía un poco, si algo no está claro, me complace ampliar un poco. Además, en una versión anterior dije que el punto crítico era [math] \ lambda [/ math] cuando quise decir [math] \ kappa [/ math]
La definición allí dice que un cardenal [math] \ lambda [/ math] es Woodin si y solo si lo siguiente se cumple para cada [math] f: \ lambda \ to \ lambda [/ math]:
- hay un cardenal [math] \ kappa <\ lambda [/ math] tal que [math] \ {f (\ beta): \ beta <\ kappa \} \ subseteq \ kappa [/ math]
- hay una incrustación elemental [math] j: V \ to M [/ math] con M un modelo de clase transitiva de ZFC con punto crítico [math] \ kappa [/ math]
- [math] V_ {j (f) (\ kappa)} \ subseteq M [/ math], donde [math] \ kappa [/ math] es el mismo cardenal que el primer punto, y [math] j [/ math ] es la incrustación elemental de la segunda
El primer punto dice que para cualquier función desde [math] \ lambda \ a \ lambda [/ math] hay un cardenal menor de manera que podemos restringir [math] f [/ math] a una función [math] \ kappa \ to \ kappa [/ math]
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Para explicar el segundo, necesito decirte qué es un modelo de clase transitiva de ZFC, qué es una incrustación elemental y cuál es el punto crítico.
Una clase es, técnicamente hablando, una fórmula junto con algunos parámetros establecidos. Generalmente pensamos en las clases como la colección de elementos que satisfacen esas fórmulas. Algunas clases comunes son V , la clase de todos los conjuntos (con una fórmula definitoria [matemática] x = x [/ matemática], o alguna otra tautología), o L , los conjuntos construibles (con una fórmula definitoria realmente complicada, pero hay una )
Decimos que una clase M es una clase transitiva si [matemática] x \ en M [/ matemática] y [matemática] y \ en x [/ matemática] juntas implican [matemática] y \ en M [/ matemática].
Decimos que una clase M es un modelo de ZFC, si cada vez que tomamos un axioma de ZFC y reemplazamos todas las instancias de [math] \ forall x [/ math] o [math] \ exist x [/ math] con [math] \ Para todo x \ en M [/ matemática] o [matemática] \ existe x \ en M [/ matemática], esa afirmación es verdadera. Este proceso de alterar cuantificadores como este se llama relativización a M, y dada una fórmula [math] \ varphi [/ math], escribimos [math] \ varphi ^ M [/ math] para la relativización.
Ahora, dada [math] j: M \ to N [/ math] una función de clase (solo piense en una función normal, pero con clases de dominio y codominio), decimos que [math] j [/ math] es una incrustación elemental si para cualquier fórmula [math] \ varphi [/ math] y [math] x_1, \ ldots, x_n \ in M [/ math], [math] \ varphi ^ M (x_1, \ ldots, x_n) \ Leftrightarrow \ varphi ^ N (j (x_1), \ ldots, j (x_n)) [/ math]
Ahora, el punto crítico de una incrustación elemental es el primer ordinal tal que [math] j (\ alpha) \ not = \ alpha [/ math]. Vale la pena señalar que ser un ordinal es una propiedad en la que todos los modelos transitivos están de acuerdo (llamamos a esto ser absoluto ). Además, según un teorema algo profundo si [math] j: V \ to M [/ math] es una incrustación elemental, y para cada ordinal [math] j (\ alpha) = \ alpha [/ math] entonces tenemos que [ matemática] V = M [/ matemática] y [matemática] j [/ matemática] es la identidad.
Ahora, mirando hacia atrás en el segundo punto, tenemos, dependiendo de f y [math] \ kappa [/ math], un modelo de clase transitivo de ZFC y una inclusión elemental [math] j: V \ to M [/ math] con punto crítico [matemáticas] \ kappa [/ matemáticas]
Para explicar el último punto, necesito explicar la jerarquía acumulativa . Esta es una secuencia de conjuntos indexados por los ordinales. Definimos esto por [math] V_0 = \ emptyset [/ math], [math] V _ {\ alpha + 1} = \ mathcal {P} (V_ \ alpha) [/ math], y para un límite ordinal [math] V_ \ beta = \ cup _ {\ alpha <\ beta} V_ \ alpha [/ math].
Lo que dice el tercer punto es que si tomamos [matemática] j (f) [/ matemática], que por elementalidad de [matemática] j [/ matemática] es una función de [matemática] j (\ lambda) \ a j (\ lambda) [/ math], y luego evalúelo en [math] \ kappa [/ math], [math] M [/ math] contiene gran parte de la jerarquía acumulativa. Tenga en cuenta que como [math] j [/ math] tiene un punto crítico [math] \ kappa [/ math], [math] j (f) (\ kappa) [/ math] no necesita ser igual a [math] j (\ kappa) [/matemáticas].
Con todo, un cardenal de Woodin es el punto crítico de muchas incrustaciones elementales diferentes, cada una de las cuales contiene una gran parte de la jerarquía acumulativa.
