Las tres son formas de conceptualizar la idea de una diferencia de valores. Las letras [matemática] d, \ parcial, \ Delta [/ matemática] son todas abreviaturas para “diferencia” y se usan para diferentes propósitos.
Todos ellos suponen que [math] y [/ math] es, al menos implícitamente, una función de una o más variables, por lo que es posible hablar de [math] y [/ math] en “dos lugares diferentes” para encontrar la diferencia entre ellos
[matemática] \ Delta y [/ matemática] representa la diferencia en [matemática] y [/ matemática] cuando se evalúa en dos puntos diferentes. Por ejemplo, para calcular la pendiente de una línea, tiene [matemática] y (p) [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] es un punto y [matemática] y [/ matemática] es (convencionalmente) la coordenada y de ese punto en algún sistema de coordenadas cartesianas. En esa situación, [matemática] \ Delta y [/ matemática] se referiría a [matemática] y (p_2) – y (p_1) [/ matemática], para algunos pares de puntos dados, generalmente conocidos por contexto.
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[math] \ Delta y [/ math] también se usa cuando [math] y = (y_1, y_2, y_3, \ ldots) [/ math] es una secuencia de valores, y [math] \ Delta y [/ math] entonces se referiría a la “secuencia de diferencias” [matemáticas] \ Delta y = (y_2-y_1, y_3-y_2, \ ldots, y_ {n + 1} -y_n, \ ldots) [/ math]. Esto se usa en el “cálculo de diferencias finitas”, que es un análogo discreto del cálculo normal. En este caso, [math] \ Delta y [/ math] actúa como una función (de enteros) de la misma manera que lo hace [math] y [/ math].
[math] dy [/ math] representa la diferencia en [math] y [/ math] cuando se evalúa en dos puntos que son infinitamente cercanos, o, si desea obtener información técnica, el límite de [math] \ Delta y [/ matemática] cuando la diferencia entre los puntos va a cero. Por lo general, este diferencial se usa en una relación con un diferencial diferente, para obtener una derivada como [math] \ frac {dy} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ matemáticas]. [math] dy [/ math] se usa comúnmente en el cálculo de una sola variable, pero tiene otros usos (que mencionaré más adelante). La derivada de una función es otra función, por lo que, como en el caso de las diferencias finitas, la diferenciación lleva las funciones a funciones.
[matemática] \ parcial y [/ matemática] se usa cuando [matemática] y [/ matemática] depende de múltiples variables, y siempre se usa en referencia a una variable explícita, como en [matemática] \ frac {\ parcial y} {\ parcial x} [/ matemáticas]. Este uso implica que [math] y (x, z, \ ldots, w) [/ math] es una función de múltiples variables, no solo [math] x [/ math]. Se refiere al diferencial parcial , de la misma manera que [math] dy [/ math] se refiere al diferencial (total). Se define básicamente como “tomar la derivada [math] \ frac {dy} {dx} [/ math], suponiendo que [math] z, \ ldots, w [/ math] se mantengan constantes”. Una vez más, la derivada parcial de una función multivariada es otra función multivariada.
Las derivadas parciales implican una derivada “total”, que es una combinación de todas las derivadas parciales de una manera sensata. La derivada total está representada por [math] dy [/ math], volviendo a la notación anterior. Vale la pena mencionar que una derivada parcial de una función de una sola variable es la misma que la derivada total, por lo que el uso de [matemática] \ parcial y [/ matemática] solo ocurre cuando se hace cálculo multivariado.
También tiene [math] \ nabla [/ math], que es un operador diferencial multivariable que representa el “vector” [math] \ nabla y = \ frac {\ partial y} {\ partial x}, \ frac {\ partial y } {\ partial z}, \ frac {\ partial y} {\ partial w}) [/ math], y se usa de varias maneras en funciones multivariadas. Si [math] y [/ math] devuelve un número real, entonces [math] \ nabla y [/ math] es el gradiente de [math] y [/ math], una función multivariada con valor vectorial que apunta en la dirección de mayor cambio; si [math] y [/ math] tiene un valor vectorial, entonces [math] \ nabla \ cdot y [/ math] es la divergencia de [math] y [/ math], una función multivariada de valor único que se relaciona con cuánto está “fluyendo” de un punto dado. También hay [math] \ nabla \ times y [/ math], que es el rizo de [math] y [/ math], y es una función multivariada con valor vectorial que muestra cuánto la función [math] y [/ math ] está “fluyendo” en un punto dado.
