La geometría euclidiana tradicional se resolvió por completo, al igual que las damas, en las primeras décadas del siglo XX, dentro del programa de Hilbert. Hilbert dio una axiomatización correcta, y luego alguien más le dio un algoritmo para verificar la probibilidad de cada declaración. Funciona porque la geometría euclidiana no es lo suficientemente complicada como para hacer una computadora completa. Ideas similares funcionaron para demostrar la integridad y la capacidad de decisión de la teoría de los campos cerrados reales.
Por lo tanto, no queda nada por hacer en este sentido, al menos no en el patio tradicional de “los elementos”. Puede decidir cada pregunta utilizando geometría de coordenadas y encontrando soluciones a ecuaciones polinómicas.
Pero en un sentido más general, las nociones de geometría euclidiana se extienden a los reinos donde hay preguntas abiertas. El reino más interesante es la geometría de Minkowski, que obedece a todos los axiomas de Euclides, pero donde los círculos no son curvas cerradas, y las distancias son de dos tipos, espaciales y temporales. ¡Esta geometría tiene un montón de preguntas abiertas, por ejemplo, si puedes hacer una prueba de decidibilidad para los teoremas en una axiomatización adecuada! Esto nunca se ha estudiado hasta donde yo sé. Quizás no sea tan interesante.
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Hay análogos de la mayoría de las construcciones geométricas en el espacio de Minskowski. Podrías tomar todos los teoremas de la geometría euclidiana y hacer el mejor análogo de Minkowki, y eso sería un proyecto. Probablemente descubrirá algo interesante, por ejemplo, para traducir el teorema de Pascal al teorema de Minkowski Pascal. Es lindo, pero lo encuentro aburrido, así que nunca lo hago.
