La respuesta de Hans Hyttel es correcta, pero para decir un poco más …
Para la notación, usaré CH para representar la hipótesis del continuo. En primer lugar, es mejor decir que CH es independiente de ZFC, en lugar de “indecidible”, porque la palabra indecidible tiene un significado técnico que se relaciona con la computabilidad (ver Problema indecidible).
Decir que CH es independiente de ZFC significa que CH no es una consecuencia lógica de ZFC. Para mostrar esto, debemos mostrar que tanto CH como la negación de CH son consistentes con ZFC.
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Supongamos que queremos mostrar que CH es consistente con ZFC. ¿Cómo podemos hacer esto? La forma habitual de mostrar que un conjunto de oraciones es consistente es construir un modelo en el que todas las oraciones sean verdaderas. Un modelo es como una interpretación o testigo de una colección de propiedades.
Para caricaturizar un poco las cosas, si quieres demostrar que es consistente que algo puede ser tanto inútil como muy popular, entonces puedes exhibir un ejemplo de algo con ambas propiedades: Kim Kardashian. En este caso, Kim Kardashian es como un modelo de la oración: existe X tal que X es inane y X es popular. (Tal vez técnicamente debería ser {Kim Kardashian}, pero no seré tan preciso). Naturalmente, Kim Kardashian no es el único modelo: también está Paris Hilton. Debido a que existe un solo modelo, sabemos que esas propiedades deben ser consistentes.
Queremos encontrar un análogo de Kim Kardashian para la colección de declaraciones ZFC + CH. Goedel proporcionó este modelo: se llama universo constructivo. De hecho, este modelo muestra que ZFC + GCH es consistente, lo que es aún más fuerte.
Ahora tenemos que mostrar que ZFC + [math] \ neg [/ math] CH también es consistente. ¿Qué modelo usaremos para presenciar esto? La persona que resolvió esto, Paul Cohen, fue sorprendentemente ni siquiera un teórico modelo por entrenamiento, aunque ganó una Medalla Fields por su trabajo. La técnica que él inventó, llamada Forcing (matemáticas) es muy general y tiene muchas otras aplicaciones en la teoría de conjuntos. No es trivial de entender. Para decirlo de manera extremadamente cruda, Cohen encontró una manera de construir un modelo de ZFC en el que pudo “introducir” subconjuntos adicionales de {0,1,2, …}, y de ese modo hacer que CH fallara en este modelo.
