Esta no es una tarea fácil porque el objeto es bastante técnico. Así que vamos a dividir el proceso en dos fases. Primero, describa exactamente qué secuencia espectral trata de lograr y segundo cómo lo hace. La segunda parte será necesariamente de alto nivel; de lo contrario, también podríamos eliminar la palabra “intuitivo”. Cuando las personas quieren “intuitivo”, generalmente no piensan en “fórmulas de álgebra homológica”.
Vamos a elegir un entorno topológico para la concreción. Necesitamos encontrar el enésimo grupo de homología del espacio X, [matemáticas] H_n (X) [/ matemáticas].
Lo que hace la secuencia espectral es que le permite encontrar no exactamente el grupo [math] H_n (X) [/ math] sino un objeto algebraicamente asociado a él. Imagine un grupo G filtrado por subgrupos
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- ABC es un triángulo con AB = 13; BC = 14; CA = 15. AD y BE son las altitudes desde A y B hasta BC y AC, respectivamente. H es el punto de intersección de AD y BE. ¿Cuál es la proporción de HD / HB?
[matemáticas] G = G_0 \ supseteq G_1 \ supseteq G_2 \ supseteq \ ldots \ supseteq 0 [/ math].
La secuencia espectral te da todas las proporciones
[matemáticas] G_i / G_ {i + 1} [/ matemáticas]
en esta secuencia, pero no de los mismos G. ¿Cómo ayuda esto con [matemáticas] G = H_n (X) [/ matemáticas]? Bueno, esta cadena de G proviene de una filtración de X que es parte de la entrada, por lo que debe intentar seleccionar una filtración de este tipo que resulte en que solo una o dos de las relaciones no sean triviales. Digamos que solo una relación [matemática] G_3 / G_4 \ neq 0 [/ matemática], luego [matemática] G = G_3 [/ matemática] y hemos terminado. Dado que todas las proporciones inferiores y superiores a [matemáticas] G_3 / G_ {4} [/ matemáticas] son cero: [matemáticas] G_4 = G_5 = \ ldots = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] G_3 = G_2 = G_1 = G [ /matemáticas]. Otra buena situación es cuando solo dos razones no son triviales. En ese caso, [math] H_n (X) [/ math] es el grupo medio en la secuencia corta exacta, por lo que generalmente hay una limitación significativa de lo que puede ser. Tenga en cuenta que la secuencia exacta corta puede no dividirse, por lo que [math] H_n (X) [/ math] no es necesariamente un producto de un par de grupos [math] G_i [/ math]. La secuencia exacta corta se ve así
[matemática] 0 \ rightarrow G_i \ rightarrow H_n (X) \ rightarrow G_j \ rightarrow 0 [/ math].
La segunda parte es cómo se calculan las relaciones. La idea clave es que la filtración de X le proporciona muchas secuencias exactas de un par, es decir, una por cada par consecutivo [matemáticas] (X_ {p + 1}, X_p) [/ matemáticas]. Queremos utilizar todas estas secuencias exactas para obtener las proporciones [matemáticas] G_i / G_ {i + 1} [/ matemáticas]. Resulta que esto es, de hecho, posible, al menos, en el límite. La página [math] E ^ {\ infty} [/ math] contiene precisamente estas proporciones, pero a menudo la convergencia ocurre mucho antes, por ejemplo, en [math] E ^ 2 [/ math]. Convergencia significa que todos los diferenciales en la página dada son triviales y dado que cada página siguiente se forma tomando homología en la página actual, todas las páginas son iguales comenzando con la actual, por ejemplo, [matemáticas] E ^ 2 = E ^ 3 = \ ldots = E ^ {\ infty} [/ math].
