¿Cuál es la mejor manera de explicar el concepto de múltiple a un novato?

En un vuelo de larga distancia, sintió que el avión volaba en línea recta.

Caminando por una playa en el borde del Pacífico con el horizonte completo a la vista, es difícil no sentir que estás mirando el “borde del mundo” si no hay barcos que vienen de lejos.

En el primer caso, una curva circular larga se asemeja a una línea recta localmente y en el último, una superficie lo suficientemente grande se asemeja a una llanura plana localmente. Son múltiples de 1 y 2 dimensiones.

Una variedad general, entonces, captura con precisión la planitud local en cualquier dimensión, lo cual es esencial para que hablemos sobre la tasa de cambio de cualquier viajero minúsculo (pequeño en relación con la variedad, digamos la tierra). Esta misma propiedad de la planitud local nos proporciona la noción de tangencialidad, por lo que es aplicable todo el lenguaje del cálculo multivariable y, en particular, la regla de la cadena.

En una variedad N-dimensional, imagina que eras el viajero local minúsculo, tendrás exactamente N direcciones distintas para viajar, y en cada dirección, tu variedad se ve recta. Además, estos grados de libertad no requieren la noción de un sistema de coordenadas absoluto. El caso de la superficie es más fácil de entender y Gauss lo llama Theorema Egregium.

En una variedad, deberías ser intrínsecamente capaz de medir la tasa de cambio que siente el minúsculo viajero, ¿no crees? Esto requerirá los conceptos asociados de geodésica, métrica, etc.

El múltiple es de hecho un concepto de geometría, pero me resulta útil recordar que cualquier cosa con sistemas de coordenadas consistentes es múltiple. Por ejemplo, imagine un brazo robot con múltiples articulaciones que pueden girar libremente. Todo el espacio que este brazo puede describirse mediante un conjunto de ángulos y, por lo tanto, es múltiple (n-torus). Este espacio no puede ser descrito por un simple plano n ya que, cada vez que cada ángulo alcanza 360º, apuntará al mismo punto que 0º. Sin embargo, se puede evitar la confusión simplemente considerando otro sistema de coordenadas que este punto ya no se describe de manera ambigua (por ejemplo, definimos un nuevo ángulo cambiando el ángulo anterior 180º). Ahora, si desea definir una función en este espacio (como la energía cinética del brazo del robot), esta función es necesaria para covariar consistentemente con el cambio del sistema de coordenadas. Por ejemplo, la energía cinética del brazo del robot debe ser invariable sin importar cómo definamos los ángulos. Esto es muy importante cuando desea estudiar objetos físicos (de nuevo, como brazos de robot) en el espacio, ya que los sistemas de coordenadas le resultarán muy útiles, pero no desea que se calculen sus propiedades (como la energía cinética) vinculadas a la coordenada. sistema.

Esto también conduce a un concepto muy poderoso que, si observa las propiedades de esas funciones (incluidas las coordenadas, ya que las coordenadas son tales funciones en el espacio), pueden decirle algo sobre la geometría del espacio donde están definidas, pero esa es otra historia …

Muy brevemente, un múltiple es un buen espacio topológico. Hay tres propiedades que utilizamos para definir una variedad:

1. Es localmente homeomorfo al espacio euclidiano. Esto significa que es suave y que no hay agujeros ni partes extrañas que puedan dañar tu cabeza.
2. Es el segundo contable. Esto significa que el espacio no es demasiado grande, y puede tener una noción de distancia que le brinda los conjuntos abiertos que desea.
3. Es Hausdorrf, lo que significa que puntos distintos tienen vecindarios que no se cruzan. Entre otras cosas, esto garantiza que las secuencias tienen límites únicos.

Si quieres un poco más de detalle, mira http://preposterousuniverse.com/ …, que tiene una mejor motivación que el artículo de Wikipedia.

Editar: Debo señalar que hay una definición formal para una variedad suave, que no es exactamente la misma que una variedad general. Es un poco difícil dar una idea intuitiva de lo que significa que un espacio sea localmente homeomorfo a un espacio euclidiano pero no liso; sin embargo, las definiciones lo permiten.

Todas esas bandas retorcidas y formas exóticas que se muestran como ejemplos de múltiples intentan darle diferentes imágenes de espacios que pueden equiparse con un tipo especial de estructura. Incluso si pueden parecer complejos en general, la idea de una variedad es que uno puede traducir esta extraña información geométrica o topológica a un espacio más “conocido” o “simple” que sea más favorable para nuestros propósitos.

Tome múltiples colectores diferenciales, por ejemplo: si se acerca suficientemente a un toro, su superficie no es diferente al espacio plano. Aprovechando las herramientas matemáticas que tenemos disponibles para R³, formalizamos la idea de “acercarnos” a la del difeomorfismo , una biyección especial entre un conjunto abierto de R³ y un conjunto abierto de la superficie del toro.

Esto puede llevarse a propósitos más abstractos, porque podemos desear comparar cualquier espacio dado (un toro, una banda de Mobius, etc.) con diferentes niveles de estructura matemática (para que pueda tener múltiples topologías, donde la traducción se da por continuidad , o incluso variedades riemannianas, variedades simplécticas, etc.). Por lo tanto, los elementos cruciales a considerar son la capacidad de ‘cubrir’ el espacio con suficientes parches para traducir y los tipos de funciones que estamos utilizando para cambiar al espacio más familiar, porque esta técnica requiere ciertas propiedades del espacio candidato, de todas formas.

Según Manifold, de Wolfram MathWorld

‘Un múltiple es un espacio topológico que es localmente euclidiano (es decir, alrededor de cada punto, hay un vecindario que es topológicamente igual que la bola de unidad abierta en R ^ n)’

Esto significa que a pequeña escala “parece” un avión o nuestro espacio o algo con más dimensiones. A menudo, estos múltiples pueden tener propiedades muy extrañas ‘a gran escala’, pero si elegimos solo una pequeña parte, podemos aplicar generalizaciones de nuestras ideas normales de geometría.

Podemos usar nuestra intuición sobre la cercanía y, en cierta medida, la distancia en ese espacio.

Los ejemplos incluyen la esfera, la superficie de una taza, una rosquilla o un pretzel.

Un 3-múltiple con límite es cualquier forma que pueda hacer con masa de pan.

Podría aproximar la superficie (un múltiple de 2) con polígonos

lo que significa que podrías hacer cálculos euclidianos en la superficie, aunque la forma “global” no sea euclidiana.

Entonces, el objetivo de las múltiples es ser capaz de tener cosas “globales” que son más complicadas que cosas simples “locales”.

Imágenes de isomorfismos.

¡Algunas respuestas realmente geniales!

Para un novato completo, probablemente usaría la analogía de cubrir un mueble o equipo deportivo con una manta, luego examinar esta manta desde la perspectiva de una hormiga (se puede hacer visualmente como una demostración). Se verá localmente plano, y el espacio no tendrá espacios o puntos infinitos. Hay límites a donde puede viajar una progresión de hormigas, y todos estos límites existen en el objeto.

Imagine una alfombra voladora o una bandera ondeando al viento. O la superficie de un globo, o una manguera de neumático. Estas son superficies dobladas bidimensionales, o colectores bidimensionales. Piense en una cuerda (olvidando como siempre su grosor), que es una variedad unidimensional. De manera más abstracta, también se puede hablar de “espacios inclinados hacia la cuarta dimensión”, etc., pero eso no es tan fácil de imaginar.

Una variedad n-dimensional es un objeto geométrico que cerca de cualquiera de sus puntos “se parece casi” a un espacio plano n-dimensional.

Colector de escape del automóvil. Levanta el capó. Muestre el motor novato, muestre el tubo de escape, muestre el aire novato en la caja de toma. Explique que el bit que une la caja de aire a la culata del motor es el colector de entrada. El aire es aspirado a través de la caja de aire, separado de cada cilindro a través del múltiple de ENTRADA, el motor lo muerde, golpea y explota (combustible, chispa de aire si es gasolina), aire de combustible si es diesel). Los gases de escape gastados ahora se expulsan de cada cilindro hacia el COLECTOR DE ESCAPE, que ha reunido todos los gases de escape y los ha sacado del tubo de escape.

Simplemente comienza desde una superficie en geometría y toma su bonita versión con suavidad. Luego estudias el análogo en topología, que no será tan natural hasta que lo estudies lo suficiente. Es lo mismo para los conceptos básicos que tuvo que aprender durante un tiempo en geometría, o cualquier rama matemática antes de familiarizarse.