El concepto central en topología es el de función continua. Usted ya conoce las funciones continuas del cálculo, pero esas son solo funciones continuas desde los números reales hasta los números reales. La topología no solo considera funciones continuas desde [math] \ mathbf R [/ math] a [math] \ mathbf R [/ math], sino que las considera desde cualquier espacio topológico [math] S [/ math] a cualquier otro ( o lo mismo) espacio topológico [matemática] T [/ matemática].
El problema para los matemáticos de principios del siglo XX fue caracterizar un espacio topológico. ¿Qué es? ¿Cómo puede saber cuáles son las funciones continuas entre espacios topológicos? Tenga en cuenta esas preguntas al comenzar su estudio de topología.
La teoría de conjuntos se desarrolló casi al mismo tiempo, pero realmente no necesita saber mucho sobre la teoría de conjuntos para la topología. Necesita saber sobre sindicatos, intersecciones y complementos. Ya sabes sobre esas cosas. Estás listo para estudiar topología.
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Hay varias formas de definir un espacio topológico. Puede definirlo en términos de conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, una operación de cierre, una base de conjuntos abiertos, etc. Todos son equivalentes y se describen en cualquier libro de texto introductorio sobre topología.
A medida que aprenda sobre ellos, estudie ejemplos. La topología habitual en [math] \ mathbf R [/ math] es la primera en considerar. Una base de conjuntos abiertos consiste en intervalos abiertos [matemática] (a, b) [/ matemática]. Un conjunto abierto es solo una unión arbitraria de intervalos abiertos. Puede ser una unión finita o una unión infinita. Es importante que compruebe usted mismo que estos conjuntos abiertos satisfacen los axiomas de un espacio topológico. Eso no es tanto para mostrar que [math] \ mathbf R [/ math] es un espacio topológico, sino para darle una comprensión de los axiomas. Un conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto. El cierre de un subconjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ese subconjunto.
Mira otros ejemplos también. El plano [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math] tiene una topología habitual que debe conocer.
Luego, y más importante, es la definición de una función continua [matemática] f: S \ a T [/ matemática] de un espacio topológico a otro. Hay varias definiciones equivalentes de continuidad. Puede describir la continuidad en términos de conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, la operación de cierre, etc. Estudie estas definiciones y verifique que coincidan con [math] \ epsilon [/ math] – [math] \ delta [/ math] definición de funciones continuas [math] f: \ mathbf R [/ math] a [math] \ mathbf R [/ math] que conoce del cálculo.
Eso debería llevarte una o dos semanas.
La topología se trata de pruebas. Si no ha creado sus propias pruebas en cursos de matemáticas anteriores, puede resultarle difícil.
