El teorema de la bola peluda puede probar el teorema del punto fijo de Brouwer.
Suponga que [math] f (x) \ neq x [/ math] en el dominio [math] D ^ n [/ math]. Luego establezca [math] g (x) = x – f (x) (1 – x \ cdot x) / (1 – x \ cdot f (x)) [/ math]. Tenemos [math] x \ cdot x = 1 \ Rightarrow g (x) = x [/ math], y g es continuo (denominador nunca cero) y distinto de cero.
Ahora, coloque el disco dentro de una bola [matemática] B ^ n [/ matemática], y para cada punto del disco, proyecte desde ambos polos a una distancia máxima del disco sobre la superficie de la bola. Obtenemos un campo vectorial tangente continuo en esta bola que no es cero en todas partes, una contradicción cuando [math] n [/ math] es par. Podemos extender esto a todos [math] n [/ math] al mostrar que si es cierto en las dimensiones [math] n [/ math], también es cierto en las dimensiones [math] n-1 [/ math].
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