Tengo buenas noticias y malas noticias.
La mala noticia es que no puedo imaginar lo que el organizador tenía en mente cuando hizo ese comentario. La curva utilizada en la solución es
[matemáticas] y = x ^ 3- 2015 x ^ 2 [/ matemáticas]
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que no es una curva elíptica. Es una curva del género 0, mientras que las curvas elípticas tienen el género 1. Por ejemplo, la curva dada por
[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3-2015x ^ 2 [/ matemáticas]
Es una curva elíptica. El cuadrado encima de [math] y [/ math] allí hace una gran diferencia.
De hecho, hay una construcción fundamental que se basa en líneas que atraviesan curvas elípticas, pero ese no es el caso aquí ya que la curva no es una curva elíptica. Es posible que haya alguna perspectiva diferente que podamos usar para ver el problema a través de la lente de las curvas elípticas, pero no puedo pensar en ninguna, y ciertamente no necesita curvas elípticas para observar esos tres puntos en el la primera curva es colineal si y solo si sus coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] se suman a 2015.
Las buenas noticias son las siguientes: puedo mostrarle cómo probar el resultado requerido con bastante facilidad (no se requieren curvas elípticas), y me complace darle consejos para aprender sobre las curvas elípticas, que son criaturas extremadamente importantes y tremendamente bellas. Personalmente, creo que es necesario que todos los doctores en matemáticas sepan al menos algo sobre ellos, así que estoy feliz de que te motivaras para aprender sobre ellos, incluso si la lógica particular es un poco oscura para mí.
Entonces, antes que nada, el problema. Este fue el problema 3 en USAMO 2014 y, por supuesto, el número utilizado fue 2014, no 2015. Pero no importa.
Considera la curva
[matemáticas] y = x ^ 3-mx ^ 2 [/ matemáticas]
y una línea recta arbitraria
[matemáticas] y = ax + b [/ matemáticas].
Suponga que sabe que la línea recta interseca la curva en tres puntos [matemática] P_1, P_2, P_3 [/ matemática] que tiene distintas [matemática] x [/ matemática] -coordenadas [matemática] u, v, w [/ matemática]. Entonces la ecuación
[matemáticas] x ^ 3-mx ^ 2-ax-b = 0 [/ matemáticas]
tiene las tres soluciones [matemáticas] u, v, w [/ matemáticas], y por las fórmulas de Vieta tenemos [matemáticas] u + v + w = m [/ matemáticas]. Eso es. Todo aquí es reversible, por lo que también puede comenzar asumiendo que [math] u + v + w = m [/ math] y concluir que la línea que pasa por [math] P_1, P_2 [/ math] debe pasar por [math] P_3 [/ matemáticas].
(Si no sabe cuáles son las fórmulas de Vieta, simplemente escriba [math] x ^ 3-mx ^ 2-ax-b = (xu) (xv) (xw) [/ math] y expanda).
Ahora, curvas elípticas. Una gran parte de la magia de las curvas elípticas radica en el hecho de que se pueden ver de muchas maneras diferentes. Son superficies de Riemann del género 1, son cocientes [math] \ mathbb {C} / L [/ math] del plano complejo módulo a red, son curvas suaves y proyectivas del género 1 con un punto distinguido, son la solución conjuntos de ecuaciones de la forma [matemática] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ matemática], y más.
Si su fondo es de geometría diferencial, puede resultarle más fácil comenzar con curvas elípticas sobre los números complejos, vistos como cubiertas dobles ramificadas del plano. Todavía te recomendaría que eches un vistazo a la imagen aritmética porque es muy fundamental para la teoría de números moderna.
Por cierto, si dibuja la curva [matemática] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ matemática] en el plano, seleccione dos puntos en la curva y dibuje la línea entre ellos, encontrará que la línea siempre corta la curva en un tercer punto. Esta construcción simple está en el corazón de muchas aplicaciones y desarrollos teóricos alrededor de las curvas elípticas.
“Curvas elípticas: teoría de la función, geometría, aritmética” de McKean y Moll es de naturaleza más analítica, y me gusta mucho. Para la aritmética, comenzaría con los “Puntos racionales de las curvas elípticas” de Silverman y Tate, y si lo disfrutas, puedes pasar a “La aritmética de las curvas elípticas” de Silverman, que es muy profunda.
Vea también las notas de curso gratuitas de Milne sobre curvas elípticas.
