Realmente estaba buscando algo como esta respuesta de Jack Huizenga (¿Cómo entiendo la homología?) A la que me topé por accidente recientemente. No está respondiendo exactamente a mi pregunta, pero en lugar de ser puramente técnico, es muy intuitivo. De aquí en adelante cito su respuesta:
La homología realmente no tenía sentido para mí hasta que aprendí sobre múltiples, integración, clases fundamentales y la dualidad de Poincare. La homología realmente singular funciona en gran generalidad, pero las múltiples son de donde debe tomar su intuición geométrica. Para el resto de esta publicación, asumiré que estamos hablando de múltiples. Si no está realmente familiarizado con los múltiples, puede pensar en una esfera en cualquier dimensión, o un toro, o más generalmente una superficie del género g.
En lugar de solo medir los agujeros que puede recorrer en un bucle (como lo hace el grupo fundamental), la homología mide los agujeros que puede rodear con alguna variedad.
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Por ejemplo, piense en un toro S (solo la superficie del mismo). Un “agujero” que tiene el toro es todo el interior. Puedes pensar en rodear este agujero por el toro mismo. Como lo que lo rodea es algo bidimensional, esto nos da una clase de homología en la dimensión 2. En términos de homología simplicial, puede realizar esta clase de la siguiente manera. Triangula todo el toro de la forma que desees. Ahora mire la suma de todos los simplices bidimensionales. El límite de esta suma es 0, ya que todos los bordes se cancelan. Esta clase en 
se llama la clase fundamental de la variedad.
Por otro lado, también podemos rodear este “interior” con un círculo unidimensional, ya que sin duda está familiarizado con el trabajo con el grupo fundamental. Y hay otro agujero que puedes recorrer con un círculo: el agujero en el medio que nos lleva a llamar al toro una dona. Una vez más, ambas clases pueden representarse en homología simplicial como sumas de bordes de simplices de modo que los límites de los simplices coincidan, de modo que el límite de la suma sea 0. Puede llamar a estas dos clases los generadores estándar de 
.
Finalmente, en la dimensión 0, tenemos la clase de un punto.
Si bien es posible que no sepa nada sobre los grupos de homotopía que no sean 
Es interesante notar que en este ejemplo los grupos de homología ven “más” agujeros en el toro que los grupos de homotopía: los grupos de homotopía 
(que generalmente son muy difíciles de calcular) de hecho desaparecen 
en este caso.
Usted preguntó acerca de la homología, pero la imagen realmente no estaría completa sin hablar un poco sobre la cohomología. Esto ayuda un poco a aclarar por qué la definición de homología es buena. La idea básica es que en una variedad diferenciable puede integrar cosas sobre submanifolds. Precisamente, si tiene un dispositivo llamado forma k diferencial 
en un múltiple compacto M y un submanifold k-dimensional N de M, entonces puede definir un número
cual es la integral de sobre N. De particular importancia son las formas diferenciales cerradas , aquellas formas que satisfacen 
, donde d es una noción adecuada de diferenciación. Estos son importantes porque son las formas diferenciales de tal manera que la integración se vuelve “independiente de la ruta”, o el análogo adecuado de dimensiones superiores de este concepto. En particular, si N es un sub-múltiple con límite de M, el teorema de Stokes dice
Aquí el límite de N es en sí mismo un submanifold de M, y su clase fundamental (piense en triangular el límite de N y sumar todas las caras de la triangulación, como en nuestro ejemplo de toro anterior) es 0 en homología: es el límite de la clase fundamental de N. Por otro lado, si está cerrado, entonces 
es cero Por lo tanto, el teorema de Stokes implica que si integra una forma diferencial cerrada sobre un submanifold cuya clase de homología correspondiente es 0, también obtiene 0 para la integral. Resumiendo:
Si dos submanifolds tienen clases fundamentales homólogas, la integración de una forma diferencial cerrada sobre cualquiera de los submanifolds produce el mismo resultado.
Por otro lado, una forma diferencial exacta es una forma que es igual a para algunos . El teorema de Stokes implica que la integración de una forma exacta sobre un submanifold sin límite siempre dará 0.
Ahora podemos unir todo esto. Por un lado, tenemos clases de homología. Estas son básicamente cosas que parecen submanifolds sin límite, pero se les permite moverse en familias continuas. Por otro lado, tenemos clases de cohomología (de Rham). Estas son solo las formas diferenciales cerradas modulo las exactas. Son dispositivos que puede integrar sobre submanifolds sin límite, de tal manera que mover el submanifold continuamente no cambiará la respuesta que obtiene. Los grupos de cohomología se denotan elevando el índice: 
.
Y finalmente, tenemos el “emparejamiento de integración”
Aquí el ” 
“en la notación para cohomología solo indica que nuestras formas diferenciales tienen un valor real, y el mismo símbolo en la notación para homología significa que estamos tomando combinaciones de ciclos lineales reales (en lugar de 
combinaciones lineales).
Teorema. Este emparejamiento no es degenerado, por lo tanto, induce un isomorfismo. 
En otras palabras, las clases de homología son las cosas sobre las que nos integramos, las clases de cohomología son las cosas que integramos, y ambos conceptos pueden verse como la medición de los “mismos” agujeros en nuestra variedad M.
Hablaría un poco sobre la dualidad de Poincare, pero esta publicación ya está llegando a ser absurdamente larga, y creo que eso es suficiente por ahora.
