Me gustaría comprender mejor el concepto de una variedad en matemáticas. ¿Hay ejemplos en los que se puede trabajar en la construcción de un colector en Matlab o Python?

Me gustaría agregar algunos detalles a la respuesta de Sebastian.

La noción de “plano local” está estrechamente relacionada con la noción de diferenciabilidad en la superficie. Vamos a proporcionar una definición de “superficies agradables” en algunos espacios dimensionales finitos para que sea una función continua desde algún subconjunto compacto [matemático] K \ R ^ n [/ matemático] a [matemático] R ^ m [/ matemático].

Esto es un poco difícil de visualizar, pero si llevas a [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] m = 3 [/ matemática], y [matemática] K [/ matemática] es un conjunto rectangular en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], lo que debería ser capaz de reconocer es que podemos definir funciones que mapean este cuadrado de la unidad a una variedad de agradables superficies conectadas en 3 dimensiones.

Aquí hay dos ejemplos simples:
1. Con [math] K [/ math] como el cuadrado de la unidad, la función [math] f: K \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] define una superficie con:
[matemáticas] f (x, y) = (x, y, x) \ quad: \ quad x \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x, y) = (x, y, -x) \ quad: \ quad x <0 [/ matemáticas]
La forma 3-dimensional resultante corresponde más o menos a la de una especie de cuña. Intenta imaginar esto.

2. Con [math] K = [0, 2 \ pi] \ times [0,1] [/ math] la función [math] g: K \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] es la unidad esfera (sin llenar) con
[matemáticas] f (x, y) = (\ cos x \ sin y, \ sin x \ cos y, \ cos y) [/ matemáticas]

Estos dos ejemplos pueden modelarse simplemente en cualquier paquete de trazado gráfico (Mathematica por ejemplo) porque simplemente estamos imaginando superficies bidimensionales en 3 dimensiones. Pero como puede adivinar, se hace muy difícil imaginar estas superficies cuando tratamos de generalizar a dimensiones más altas.

Ahora, en los dos ejemplos que se proporciona, la segunda es un colector pero el primero no lo es. Esto se debe a que tanto [math] f [/ math] como [math] g [/ math] son ​​continuos, la función f no puede diferenciarse en todas partes en [math] K [/ math]. ¿Por qué importa esto?

La razón por la cual la diferenciabilidad se relaciona con las descripciones intuitivas de las variedades dadas por Sebastian es porque puede interpretar derivadas de funciones como aproximaciones lineales a funciones que son precisas localmente.

Por ejemplo, dado que nuestra esfera unitaria es diferenciable en todas partes, podemos imaginar que desde muy cerca de la superficie, la esfera es casi el plano tangente a la superficie. Para el observador casual, que solo puede observar una parte muy pequeña de la esfera, la superficie de la esfera se verá lineal. Sin embargo, a medida que nos alejamos y comenzamos a observar partes más grandes de la esfera, la aproximación diferencial empeora y podemos ver más claramente que la esfera no es en realidad un plano en 3-d.

En contraste, si ahora imaginamos la forma del techo dada en el ejemplo 1, un observador parado en la parte superior de la forma del techo siempre podrá reconocer que esta superficie no es lineal porque la falta de capacidad de diferenciación significa que no podemos definir un pozo. La aproximación lineal se comportó en todas partes en nuestra superficie.

En conclusión, lo que esencialmente he esbozado aquí es que las múltiples pueden considerarse intuitivamente como superficies “agradables y diferenciables”.

En realidad, los múltiples son un poco más generales que la discusión proporcionada por Sebastian o por mí, pero estas respuestas deberían darle un buen comienzo intuitivo. Si está interesado, encontré que el texto: Geometría de formas diferenciales (Shigeyuki Morita) es bastante bueno para proporcionar motivaciones intuitivas para múltiples.

Edit: Lo siento, látex no juega tan agradable en Quora como StackExchange. Ecuaciones arregladas.

¡Estas respuestas son geniales! Tiendo a recibir la explicación visual de un colector a través de cubrir un objeto con una manta. Cubre la mayor parte de las propiedades importantes de los colectores (sin juego de palabras!).