Euler conjeturó en 1769 que si hay soluciones enteras positivas para
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n a_i ^ k = b ^ k [/ matemáticas],
entonces [matemáticas] n \ geq k [/ matemáticas]. Se demostró que esta conjetura era falsa en 1966, cuando Lander y Parkin descubrieron que
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[matemáticas] 27 ^ 5 + 84 ^ 5 + 110 ^ 5 + 133 ^ 5 = 144 ^ 5 [/ matemáticas]. Lander y Parkin, junto con Selfridge, hicieron su propia conjetura. Para el caso especial en el que solo hay un sumando en el lado derecho, equivale a la conjetura de Euler, pero [math] n \ geq k [/ math] reemplazado por [math] n \ geq k – 1 [/ math] .
Esta conjetura está completamente abierta, y sospecho que será así por mucho tiempo todavía. No parece que haya una conexión entre sumas más generales como esta y las curvas elípticas, por lo que el único método que conocemos que podría atacar un problema como este es inútil. De hecho, el estado del arte en la búsqueda de ejemplos / contraejemplos de esta conjetura es solo hacer una búsqueda de fuerza bruta (hay algunos casos muy especiales en los que se pueden construir familias infinitas de ejemplos usando la maquinaria de curvas elípticas, pero estos están aislados casos).
