Cada persona en una fiesta se dio la mano con todos los demás exactamente una vez. Hubo 4950 apretones de manos. ¿Cuántas personas estaban en la fiesta?

100 personas

Básicamente hay una ecuación de álgebra para resolver esto.

[matemáticas] n (n-1) / 2 = Número de apretones de manos [/ matemáticas]

Esto se debe a que el número total de apretones de manos es n – 1 (porque no puede estrechar las manos consigo mismo) + (n – 2) + (n – 3) y así sucesivamente. Esto crea la fórmula que se muestra arriba. Luego, solo mostraré los pasos para resolver esta ecuación.

Paso 1: simplifica la ecuación

Aunque esta ecuación ya es bastante simple, voy a cambiarla para que sea más fácil de resolver, así que esto

[matemáticas] (1/2) n ^ 2 + (- 1/2) n = 4950 [/ matemáticas]

Paso 2: resta 4950 de ambos lados

Esto es para que pueda usar la ecuación cuadrática para resolverlo, entonces la ecuación que se muestra arriba se convierte en esto. (Solo puede usar la ecuación cuadrática cuando un lado es igual a 0)

[matemáticas] (1/2) n ^ 2 + (- 1/2) n – 4950 = 0 [/ matemáticas]

Paso 3: Usando la ecuación cuadrática para resolverlo.

OK, soy bastante vago, así que no mostraré la ecuación, pero te diré que a = 0.5, b = -0.5 y c = -4950. Desde aquí puedes conectarlo a la fórmula cuadrática y boom, tus dos respuestas son -99 y 100. Y apuesto a que es la segunda, 100, porque no puedes tener una cantidad negativa de personas (o puedes).

Coloque, digamos, cuatro personas [matemáticas] A, B, C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas] en los vértices de un polígono regular. Comience con una persona [matemáticas] A [/ matemáticas]. Registre cada apretón de manos que una persona [matemática] A [/ matemática] hace con una flecha que se origina en [matemática] A [/ matemática] y termina en la persona con quien [matemática] A [/ matemática] se da la mano.

¿Cuántas flechas habrá? Bueno, [matemáticas] A [/ matemáticas] se dará la mano con todas las personas restantes [matemáticas] 3 = 4 -1 [/ matemáticas] y por lo tanto, inicialmente, habrá flechas [matemáticas] 3 [/ matemáticas]:

Ahora mantenga todas las flechas de [math] A [/ math] en su lugar y pase a la persona [math] B [/ math]. ¿Cuántas flechas que se originan en [matemáticas] B [/ matemáticas] habrá? De nuevo: [matemáticas] 3 = 4 – 1 [/ matemáticas]. Realice el mismo experimento para las personas restantes [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas].

¿Cuál es el número total de todas las flechas? Bueno, debería ser:

[matemáticas] 12 = 3 \ veces 4 = (n – 1) \ veces n \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

donde tomamos [math] n [/ math] para significar el número de vértices en una regular [math] n [/ math] -gon.

El número total en ( 1 ) representa el número acumulado pero no el número distinto de apretones de manos realizados hasta el momento. Cuando [matemática] A [/ matemática] se da la mano con, digamos, [matemática] C [/ matemática] entonces en el marco de referencia de A él / ella hace un apretón de manos y en el marco de referencia de C él / ella hace un apretón de manos para Un total de dos apretones de manos. ¿O es eso? En el marco de referencia de un observador lateral, solo se produjo un apretón de manos distinto .

Otra forma de ver este exceso de conteo es comparar las puntas de flecha con el número de segmentos de línea a los que están unidas.

Dado que un apretón de manos, por definición, es un evento que involucra a dos personas, entonces tenemos que dividir el número en ( 1 ) por dos:

[matemáticas] \ dfrac {n (n-1)} {2} = 4950 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] n (n-1) = 9900 = 99 \ cdot 100 = 100 \ cdot 99 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 100 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Observe que, como efecto secundario de resolver este problema de esta manera particular, también dedujimos el número de segmentos de línea distintos que se pueden construir en todos los vértices de un [regular] matemático [/ matemático] -gon:

[matemáticas] \ dfrac {n (n-1)} {2} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por último, con solo un esfuerzo marginal, si definimos una diagonal de un [math] n [/ math] -gon regular como un segmento de línea que conecta dos vértices no adyacentes, entonces para cada vértice fijo de todos [math] n [/ math] tales vértices excluimos sus dos vecinos inmediatos, para [math] n-2 [/ math], y en sí, para [math] n-3 [/ math], y obtenemos el número total de diagonales como:

[matemáticas] \ dfrac {n (n-3)} {2} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Imagine un ejemplo que involucra a un pequeño número de personas, digamos 5. La primera persona se da la mano con cada una de las otras 4. La segunda persona solo le da la mano a los siguientes 3 (ya que la primera persona ya le estrechó la mano). La tercera persona se da la mano con las dos siguientes y la cuarta con la última. Entonces, el número de apretones de manos es igual a la suma de todos los números naturales hasta [matemática] n – 1 [/ matemática], donde [matemática] n [/ matemática] es el número de personas. Por lo tanto, la fórmula es:

[matemáticas] \ frac {n (n – 1)} {2} = H [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] H [/ matemáticas] es el número de apretones de manos.

Entonces:

[matemáticas] 4950 = \ frac {n (n – 1)} {2} [/ matemáticas]

Multiplicar por 2:

[matemáticas] 9900 = n (n – 1) [/ matemáticas]

En expansión:

[matemáticas] 9900 = n ^ 2 – n [/ matemáticas]

Reorganizar:

[matemáticas] n ^ 2 – n – 9900 = 0 [/ matemáticas]

Factorizando:

[matemáticas] (n – 100) (n + 99) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] n = 100 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = -99 [/ matemáticas].

Como no podemos tener un número negativo de personas, [matemáticas] n = 100 [/ matemáticas]. Cien personas se dieron la mano.

Esto significa que cada par posible, sin importar el orden, ocurrió. Teníamos 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; … que son lo mismo que 2,1; 3,1; 4,1; … así que estos no se cuentan dos veces. Si ha tenido algunas matemáticas discretas, recordará que la respuesta es n, elija 2, donde n es la respuesta a su pregunta.

n elegir k es n! / [(n – r)! r!]

Si n elige 2 = 4950, esto significa que n! / [(n-2)! 2!] = 4950.

Esto se reduce a la ecuación cuadrática n ^ 2 – n – 9900 = 0. Resolviendo esto, obtenemos n = 100 yn = -99. Como -99 no tiene sentido, lo descartamos.

Entonces la respuesta es 100.

Hubo 100 invitados en la fiesta.

Imagine que todos los invitados se alinean en una sola línea, y la última persona en la fila camina hacia abajo, estrecha la mano de cada persona una vez y luego se va.

Luego, la siguiente persona que está al final de la línea camina de manera similar, estrecha la mano de cada persona una vez y luego se va.

Este proceso se repite hasta que solo quedan dos personas en la línea.

Entonces, ¿cómo podemos representar este proceso matemáticamente?

Deje que “x” sea igual al número de manos estrechas por la primera persona.

Entonces (x-1) es igual a la cantidad de manos estrechas por la segunda persona,

(x-2) es igual al número de manos que la tercera persona ha estrechado, etc.

hasta que lleguemos a la segunda a la última persona en la fila que le da la mano.

La última persona en la fila no le da la mano a nadie más, por lo que le da la mano a 0.

Por lo tanto, obtenemos la secuencia

0, 1, 2, 3, …, (x-1), x

Ahora, recuerden, se nos dice que hubo 4,950 apretones de manos, por lo que debe ser el caso que

0 + 1 + 2 +… + (x-2) + (x-1) + x = 4,950

Simplemente necesitamos encontrar “x” ahora.

Si recuerda que la fórmula para sumar una secuencia de números 1 + 2 + 3 +… (n-1) + n es [n (n + 1)] / 2

entonces obtenemos 4.950 = [n (n + 1)] / 2 y resolviendo para n produce 99.

Pero no olvide que necesitamos agregar a la persona que no estrechó la mano de otra persona, entonces 99 + 1 = 100.

Por lo tanto, había 100 personas en la fiesta.

Si hubiera n personas en la fiesta, entonces cada una de esas n personas habría estrechado n-1 manos (porque no pueden estrechar sus propias manos).

así que en total hubo n • n-1 apretones de manos. Pero estos apretones de manos no son únicos.

tenemos que tener en cuenta el doble conteo: si A le da la mano a B, entonces ese es el mismo apretón de manos cuando B le da la mano a A.

entonces tenemos que dividir nuestra expresión entre 2.

# apretones de manos únicos = n • n-1/2

ahora establezca esta expresión igual a 4,950:

n • (n-1) / 2 = 4.950

resolver para n:

n • (n-1) = 9,900

¡Esto nos dice que factoricemos 9.900 como el producto de dos enteros consecutivos!

9.900 = 100 • 99

por lo tanto, n = 100

La respuesta es de 100 personas.

Obtenemos la respuesta al resolver una fórmula de suma simple para n.

Entonces dos personas dándose la mano = 1 apretón de manos

Tres personas = 3

4 personas = 6

5 personas = 10 y así sucesivamente …

Entonces el patrón es

Dos personas = 1

Tres personas = 2 + 1

4 personas = 3 + 2 + 1

La fórmula anterior se puede expresar como

Establezca la fórmula igual a 4950 y resuelva para n.

Pero resolver para n te dará 99.

Recuerde que una persona no puede estrechar su propia mano, así que comenzamos a contar los apretones de manos a las 2.

100

Que haya n no. De la gente

La primera persona se dará la mano con el resto, es decir, n-1 personas.

La segunda persona le dará la mano a todos excepto a la primera (porque ya le dieron la mano una vez). Esta segunda persona le da la mano n-2 veces.

Esta serie continúa

3: n-3

4: n-4

.

.

.

n-1 persona: 1 (o n- (n-1))

n persona: 0

La suma de estos apretones de manos es el no total. De apretones de manos que es 4950. Así

n-1 + n-2 +… + n- (n-1) + n- (n) = 4950

Esto se puede escribir como

(n + n +… n veces) – (1 + 2 + 3… + n-1 + n) = 4950

n ^ 2- (n + 1) * n / 2 = 4950

O

n ^ 2- (n ^ 2) / 2-n / 2 = (n ^ 2) / 2-n / 2 = 4950

Multiplicando 2 ambos lados

n ^ 2-n = 9900

n ^ 2-n-9900 = 0

Que es un quad eqn con soluciones

n = 100 y -99

No. De apretones de manos no podría ser negativo. Entonces no. De apretones de manos es 100.

Ese es un problema que tiene un análogo en la tecnología de red de malla inalámbrica donde uno quiere saber todas las conexiones posibles en una red de nodos. La ecuación que se debe resolver es N (N-1) / 2 = 4950, con N el número de nodos. Esto se puede escribir como N ^ 2-N-9900 = 0. Usando la fórmula de raíz cuadrada que aprendimos en la escuela secundaria da 100.

Necesitamos encontrar n para que nC2 = 4950.

Solo adivinando, sabiendo aproximadamente qué tan rápido crece la función de elección (aproximadamente n ^ 2/2), supuse de inmediato que 100 es la respuesta.

También puede resolverlo directamente, [matemática] \ frac {n (n-1)} {2} = 4950 [/ matemática] y simplemente resolver n.

Como muchos han sugerido, el número de apretones de manos con n asistentes a la fiesta es [matemática] \ dfrac {n (n-1)} {2}. [/ Matemática] Entonces [matemática] n (n-1) = 9900. [/ matemática] En caso de que su aha no esté funcionando. saca la raíz cuadrada de 9900 y obtén 99.5. Dado que n y n-1 son solo 1, aproveche la posibilidad de que los números sean 99 y 100 y compruebe su suposición.

Gracias por A2A.

Es bastante simple

Si n personas se dan la mano entre sí, entonces el número total de apretones de manos es nc2.

Dado que nc2 = 4950;

Entonces n = 100.

Había 100 personas en la fiesta.

Si ayuda, por favor, vote y esté con Quora.

Con n = número de personas, x = suma de apretones de manos y sigue el truco de suma gaussiana:

2 × x = n ^ 2-n → 0 = n ^ 2-n-9900 → Solución n_1 = 100 personas (n_2 = 99 → primera persona de la fiesta que se da la mano).

2 personas = 1 apretones de manos
3 personas = 1 + 2 apretones de manos
…
n personas = 1 + 2 + 3 +… + n-1 apretones de manos = n (n-1) / 2

n (n-1) / 2 = 4950
n²-n-9900 = 0
(n + 99) (n – 100) = 0

n = 100

Abordaremos este problema desde un ángulo que suponga que el escritor está familiarizado con las matemáticas de nivel secundario.

Comenzamos haciendo la pregunta a la inversa: “” ¿cuántos apretones de manos habrá para un número particular de personas? ”

Imagine un pequeño número de personas, digamos 5. Al pasar la línea, vemos que la persona 1 le da la mano a 4, la persona 2 le da la mano a 3, etc.

Entonces, el número total de apretones de manos es 4 + 3 + 2 + 1. Puede reconocer esto como n (n-1) / 2, o la suma de los primeros enteros n-1.

Ahora volviendo al problema original. Queremos resolver n (n-1) / 2 = 4950. Si ha trabajado mucho con este tipo de problemas, puede reconocer que esto es n = 100. Entonces, esto significa que había un total de 100 personas para empezar.

NOTA: Disculpe la falta de formato, mi editor no funciona en mi móvil, así que tendré que volver a esto.

Es lo mismo que la cantidad de equipos en media competencia:

entonces es (n ^ 2-n) / 2 = 4950.

Esto resuelve para n = 100

Hay 100 personas allí.

Seleccione cualquiera de las dos personas y deje que se den un apretón de manos.

Por lo tanto, apretón de manos total = nC2 = 4950.

Al resolver obtendrás n = 100