¿Cómo fue su experiencia al aprender geometría algebraica?

Realmente no aprendí geometría algebraica yendo a algún curso, pero de vez en cuando en varios aspectos de la misma. Aprendo lo siguiente, que en realidad se aplica a muchas otras materias matemáticas:

• Puedes pasar toda tu vida aprendiendo geometría algebraica. Principalmente me limité al caso complejo donde la teoría es razonablemente simple, al menos al principio. Entonces, si lo desea, puede aprender la teoría de esquemas de Hartshorne o Elements de Geometrie Algebriques de Grothendieck. Pero esto no se detiene aquí. Luego tienes Topos y luego todavía tienes algunos trabajos en progreso en Motives. Entonces, la lección aquí es que debes ejercer un poco de autocontrol. Entonces, a menos que su carrera sea en la construcción de más generalizaciones, no puede aprender todo esto. Tienes que limitarte, admitir al pie de la letra alguna propiedad (pero preferiblemente saber exactamente lo que admites, o al menos una idea clara).
• La teoría abstracta ayuda prácticamente a nada para el cálculo práctico. Por ejemplo, un logro de la teoría abstracta es la eliminación de la teoría de la eliminación, pero regresó al intentar hacer un cálculo explícito en la computadora. La teoría abstracta y la teoría de la computación son en su mayoría disjuntas.
• El segundo punto es que la geometría algebraica para todo tu esfuerzo no te da tanto a cambio. Dado que todo el propósito es construir y describir algunos espacios muy generales, hay poco que decir sobre decir el espacio que has estado estudiando hasta ahora. Es mejor verlo como un lenguaje, que permite expresar algunas nociones, pero es poco probable que resuelva el problema por sí solo.
• Los éxitos de la geometría algebraica, por ejemplo, la teoría del haz lineal, el espacio de Teichmüller, el polinomio positivo, el grupo algebraico provienen de la interacción con otros sujetos.

Descargo de responsabilidad: en realidad no soy tan bueno en geometría algebraica, solo un estudiante universitario. Creo [creo que] sé la mayoría (es decir,> 50%) de lo que se cubre en las notas de Ravi Vakil, además de algunos otros temas en un grado algo no trivial.

Para mí, casi toda la “geometría” en la geometría algebraica que conozco es en realidad álgebra. Cuando comencé formalmente, había visto la definición de una variedad antes y entonces sabía de dónde venía toda la idea “local” / “global”, pero eso fue todo. Mi análisis complejo fue (y sigue siendo) horrible, por lo que los ejemplos de superficie de Riemann tampoco ayudaron.

Cuando tomé mi primera clase de geometría algebraica, la impartí esencialmente fuera de EGA y el profesor supuso que todos tenían alguna idea de la geometría algebraica clásica. En la secuencia de un año, creo que los ejemplos súper básicos con cónicas en el plano proyectivo en la primera semana de clases fueron los únicos ejemplos que entendí.

Hasta el día de hoy todavía no tengo la intuición de la geometría diferencial de un paquete de vectores, cuando escucho “paquete de vectores”, creo que es una “gavilla libre localmente”.

Todavía no soy muy bueno con el álgebra homológica (y, por lo tanto, con la cohomología de haz y otros), pero aprenderlo a través de la topología algebraica fue definitivamente muy útil. FWIW, mi amigo que hace teoría de homotopía dice que esa es la “forma correcta” de entender cosas homológicas.

Para la teoría de la intersección y las cosas relacionadas con Riemann-Roch, hay mucha “intuición geométrica” ​​que acabo de descartar o ignorar (por ejemplo, “está bien, el paquete canónico corresponde a algo de volumen, genial”, “oh, esta clase de Chern La cosa se ve muy diferente en el contexto de geodifusión diferente en Wikipedia, y no tengo idea de qué está hablando “). Sentí que no era un gran problema, pero puede convertirse en un obstáculo más adelante.

En general, si aprende AG de esta manera, los esquemas son realmente muy diferentes a los múltiples, por lo que es suficiente tener una buena imagen o dos aquí y allá que muestren de dónde proviene la intuición geométrica.

Dicho todo esto, creo que este no es el camino a seguir para la mayoría de las personas. Si bien hay muchas cosas realmente agradables que un amante de álgebra agradecería, todavía me preguntaba con bastante frecuencia “cuál es el punto”, por un tiempo. Recoger a Hartshorne fue bastante refrescante porque en realidad tenía … geometría.

Seguí un curso de Geometría Algebraica durante mi maestría. Estaba interesado en topos Grothendieck y la geometría algebraica es su tierra madre.

Fue una gran decepción. Los geómetras algebraicos modernos han oscurecido su campo al enterrar la teoría de la categoría. Supongo que Grothendieck tiene muchos enemigos. Además de eso, la tarea era difícil de manejar y la calificación era despiadada. Pasé, pero he evitado la geometría algebraica desde entonces.