Tenemos [matemáticas] x + \ sqrt {x ^ 2 + \ sqrt {x ^ 3 + 1}} = 1 [/ matemáticas]
Luego restando [matemáticas] x, \ sqrt {x ^ 2 + \ sqrt {x ^ 3 + 1}} = 1-x [/ matemáticas].
Cuadrando ambos lados, [matemáticas] x ^ 2 + \ sqrt {x ^ 3 + 1} = 1–2x + x ^ 2 [/ matemáticas].
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Restando [matemáticas] x ^ 2, \ sqrt {x ^ 3 + 1} = 1–2x [/ matemáticas].
Cuadrando de nuevo, [matemática] x ^ 3 + 1 = 1–4x + 4x ^ 2 [/ matemática].
Recolectando todo a la izquierda, [matemáticas] x ^ 3–4x ^ 2 + 4x = 0 [/ matemáticas].
[matemáticas] x (x ^ 2–4x + 4) = 0 [/ matemáticas].
[matemáticas] x (x-2) (x-2) = 0 [/ matemáticas].
Entonces, para las raíces, obtenemos [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Pero debido a que ajustamos al cuadrado nuestra ecuación, necesitamos verificar soluciones extrañas.
Al conectar [math] 2 [/ math] se obtiene [math] 2+ \ sqrt {4+ \ sqrt {8 + 1}} = 1 [/ math]
[matemáticas] 2+ \ sqrt {4+ \ sqrt {9}} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2+ \ sqrt {4 + 3} = 1 [/ matemáticas].
Esto claramente no se cumple. Entonces [math] 2 [/ math] es una solución extraña.
Entonces, nuestra única solución es [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas].