¿Existe una fórmula que tenga tanto una raíz compleja muy simple como una raíz real trascendental?

Una manera fácil de construir funciones con dos raíces “a” y “b” es encontrar una función con una raíz en a y otra con una raíz en b, y luego simplemente multiplicarlas. Por ejemplo, si [matemática] g_1 (x) = x – a [/ matemática] y [matemática] g_2 (x) = x – b [/ matemática] entonces [matemática] g_1 (a) g_2 (a) = 0 * g_2 (a) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] g_1 (b) g_2 (b) = g_1 (b) * 0 = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] f_1 (x) = g_1 (x) g_2 (x) [/ math] tiene raíces tanto en “a” como en “b”.

De este procedimiento, podemos dejar que [math] g_1 (x) = x – i [/ math] y [math] g_2 (x) = x – \ pi [/ math] (tenga en cuenta que π es trascendental) y sabemos que [matemática] f (x) = g_1 (x) g_2 (x) [/ matemática] tiene raíces en “i” y “π”. Entonces la primera respuesta es:

[matemáticas] f_1 (x) = (x – i) (x – \ pi) [/ matemáticas]

Pero tal vez eso parezca una trampa, ya que estamos usando números imaginarios. También podríamos hacer

[matemáticas] f_2 (x) = (x ^ 2 + 1) (x – \ pi) [/ matemáticas]

Que tiene las mismas raíces que la anterior, pero se escribe únicamente con números reales.

Desafortunadamente, todavía estamos usando explícitamente π, que todavía se siente como hacer trampa. Desafortunadamente, por la definición de un “número trascendental”, no podemos crear un polinomio con π como raíz sin usar un número trascendental en alguna parte, por lo que tendremos que dejar atrás nuestros polinomios amigables y ver algunas funciones más complicadas. Por ejemplo:

[matemáticas] g_1 (x) = sin (x) [/ matemáticas] tiene muchas raíces, incluyendo π. Para agregar una raíz compleja, podemos usar el mismo truco anterior y multiplicarlo por una función con “i” como raíz, por ejemplo [math] g_2 (x) = x ^ 2 + 1 [/ math] que nos da [math ] f_3 (x) = sin (x) * (x ^ 2 +1) [/ math] que es una función con una raíz compleja (“i”) y (infinitamente) raíces trascendentales (por ejemplo, π, 2π, 3π, etc.)

Y, finalmente, la función “pecado” se siente un poco repugnante porque tiene infinitas raíces, y tal vez queremos una función con exactamente dos raíces. Bueno, echemos un vistazo al segundo número trascendental más famoso: e = 2.718281828 … Una función que tiene “e” como raíz es [matemática] g_1 (x) = ln (x) – 1 [/ matemática] y una función que tiene “i” como raíz es (nuevamente), [matemática] g_2 ( x) = x ^ 2 + 1 [/ math], por lo que podemos usar la misma regla desde el principio y multiplicarlos para obtener: [math] f_4 (x) = (ln (x) – 1) \ cdot (x ^ 2 + 1) = (x ^ 2 + 1) ln (x) – x ^ 2 – 1 [/ matemáticas].

Es fácil construir uno. Tome [math] (x – i) (x – \ pi) = x ^ 2 – (\ pi + i) x + i \ pi [/ math].

O si solo desea coeficientes reales, tome [math] (x ^ 2 + 1) (x – \ pi) = x ^ 3 – \ pi x ^ 2 + x – \ pi [/ math]. Esto tiene raíces [matemáticas] i, -i, \ pi [/ matemáticas].

Si. Defina [matemáticas] f (x) = (x – e) (x – (1 + i)) [/ matemáticas]. Ahora resuelva [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas].