¡Puedes sumergir tu dedo del pie en la teoría del gráfico espectral!
Hay una matriz interesante asociada con una gráfica [matemática] G [/ matemática] llamada su (gráfica) Laplaciana (no es coincidencia, ya que es un operador laplaciano discreto, útil para cosas como transformadas de Fourier de funcionales en la gráfica).
Si su matriz de adyacencia es [math] \ mathbf {A} _G [/ math] y su matriz diagonal de grado es [math] \ mathbf {D} _G [/ math], su Laplaciano se define como
[math] \ mathcal {L} (G) = \ mathbf {D} _G – \ mathbf {A} _G [/ math]
Sucede que el número de valores propios cero es el número de componentes. Como siempre hay al menos un componente, la matriz siempre tiene al menos un valor propio cero. Si ese es el único cero, solo hay un componente.
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El segundo valor propio más pequeño se llama conectividad algebraica [matemática] a (G) [/ matemática] y corresponde a varias métricas de conectividad (número isoperimétrico, distancia promedio inversa, etc.). Según lo anterior, no es cero si el gráfico está conectado, por lo que puede intuir que cuanto más pequeño es, más cerca está el gráfico de desconectarse.
Su vector propio es el vector Fiedler del gráfico y es útil para cosas como la partición. (Si recuerda el reciente rumor sobre la publicación de Baltimore Raven John Urschel en un diario de matemáticas, el documento tenía que ver con el cálculo eficiente de los vectores de Fiedler).
NMM de Abreu tiene una buena descripción de las propiedades y resultados de estos en resultados antiguos y nuevos sobre conectividad algebraica de gráficos
