En la siguiente prueba de que [math] \ sqrt {2} [/ math] no termina, ¿dónde aparece la expresión [math] q = p – \ frac {p ^ {2} – 2} {p + 2} [ / matemáticas]

De hecho, hay una manera de encontrar expresiones como esta sin ningún tipo de adivinanzas. Considere la ecuación de Pell [matemática] x ^ 2-2y ^ 2 = 1. [/ matemática] Tiene infinitas soluciones en enteros positivos, y la relación de x a y se aproxima a [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] a medida que tomamos soluciones cada vez más grandes. Se puede demostrar que la enésima solución más pequeña [matemática] (x_n, y_n) [/ matemática] viene dada por [matemática] (3 + 2 \ sqrt {2}) ^ n = x_n + y_n \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Esto significa [matemáticas] x_n + y_n \ sqrt {2} = (3 + 2 \ sqrt {2}) (x_ {n-1} + y_ {n-1} \ sqrt {2}), [/ matemáticas] o [matemáticas] x_n = 3x_ {n-1} + 4y_ {n-1}, \; y_n = 2x_ {n-1} + 3y_ {n-1}. [/ math] Se deduce que si [math] \ frac {x} {y} \ approx \ sqrt {2}, [/ math] también lo es [math] \ frac {3x + 4y} {2x + 3y}, [/ math] y, de hecho, este último está más cerca de cualquier [math] x, y> 0 [/ math]. Ahora deje que [math] p = \ frac {x} {y} [/ math] e inmediatamente obtengamos que [math] q = \ frac {3p + 4} {2p + 3} [/ math] está más cerca de [math ] \ sqrt {2} [/ math]. Por supuesto, podríamos haber ido con un límite mucho más débil, como [math] q = p- \ frac {p ^ 2-2} {100} [/ math].